Проблеми між P та NPC

Факторинговий і графічний ізоморфізм - проблеми в НП, які, як відомо, не існують в Р, а також не є NP-завершеними. Які ще (достатньо різні) природні проблеми поділяють цю властивість? Штучні приклади, що випливають безпосередньо з доказів теореми Ладнера, не враховуються.

Чи є будь-який з цих прикладів NP-проміжним, припускаючи лише якусь "розумну" гіпотезу?

Ось збірка деяких відповідей на проблеми між P та NPC:

• Факторинг
• Проблеми із ізоморфізмом: ізоморфізм [не NPC, якщо ] (через @Jeff Kinne), Графічний Автоморфізм, Груповий Ізоморфізм, Автоморфізм, Кільковий Ізоморфізм та Автоморфізм (через @Joshua Grochow)$\sum_2^p=\prod_2^p$
• Обчислення відстані повороту між двома двійковими деревами або відстань повороту між двома тріангуляціями одного і того ж набору площинних точок (через @David Eppstein)
• Проблема "Turnpike" щодо реконструкції точок на відстані (через @Suresh Venkat)
• Проблеми, що виникають в результаті створення унікальних ігор (через @Moritz)
• Проблема дискретного журналу та інші, пов'язані з криптографічними припущеннями (через @Joe Fitzsimons)
• Визначення переможця в паритетних іграх (через @mashca)
• Визначення того, хто має найвищі шанси виграти стохастичну гру (через @Peter Shor on MO)
• Проблеми з цифрами в коробках (через @Joshua Grochow)
• Порядок денний для збалансованих турнірів з одиночною елімінацією (через @virgi)
• Тривіальність вузла (через @JeffE)
• (Якщо припустити NEXP ≠ EXP) зашиті версії неповних проблем NEXP (через @Joshua Grochow)
• Проблеми в TFNP (через @Marcos Villagra)
• Пересічний монотон SAT (через @ András Salamon)
• Проблема з мінімальним розміром ланцюга (через @Eric Allender)
• Вирішення, чи дане трикутне 3-багатогранник є 3-сферою (через @Joe O'Rourke та @Peter Shor)
• Проблема вирізання запасів з постійною кількістю довжин об'єктів (через @Suresh Venkat)
• Монотонна самовизначення (через @Danu)
• Мінімальний рівний розподіл (через @turkistany)
• Сума підмножини Pigeonhole (через @ user834)
• Підсумки квадратних коренів (через @JeffE)
• Визначення того, чи графік допускає граціозне маркування (через @Oleksandr Bondarenko)
• Версія зазору найближчого вектора в решітковій задачі GapCVP (через @MCH)$(\sqrt{n})$
• Проблема лінійної подільності [відома як неповна, але не NPC] (через @Oleksandr Bondarenko)$\gamma$
• Пошук виміру VC (через @Mohammad al Turkistany)
• Пошук мінімального домінуючого набору в турнірі (через @Mohammad al Turkistany)
• Кластерна планарність

Моя улюблена проблема в цьому класі (я буду її формулювати як функціональну проблему, але це легко перетворити на проблему рішення стандартним способом): обчислити відстань обертання між двома двійковими деревами (рівнозначно, відстань повороту між двома тріангуляціями опуклий багатокутник).

Проблема, яка не згадується ні в цьому списку, ні в списку MO, не є проблемою "під ключ". Враховуючи множину з n (n-1) / 2 чисел, кожне число, що представляє відстань між двома точками на лінії, реконструюйте положення вихідних точок.

Зауважте, що це нетривіальне - це те, що для заданого числа d у мультисеті ви не знаєте, яка пара точок є d одиниць.

Хоча відомо, що для будь-якого даного екземпляра існує лише поліноміальне число рішень, як не знайти, як відомо!

Задача про суми квадратних коренів: Враховуючи дві послідовності і b 1 , b 2 , … , b n додатних цілих чисел, це A : = ∑ i $a_1, a_2, \dots, a_n$$b_1, b_2, \dots, b_n$ менше, рівне або більшеB:=∑i$A := \sum_i \sqrt{a_i}$ ?$B := \sum_i \sqrt{b_i}$

• Проблема має тривіальний алгоритм -часового часу на реальній оперативній пам’яті - просто обчисліть суми та порівняйте їх! - але це не означає членства в P.$O(n)$

• Існує очевидний алгоритм обмеженої точності, але невідомо, чи достатньо для правильності поліноміального числа біт точності. (Докладні відомості див. У розділі http://maven.smith.edu/~orourke/TOPP/P33.html .)

• З теореми Піфогора випливає, що довжина будь-якої багатокутної кривої, вершини та цілі кінцеві точки якої є сумою квадратних коренів цілих чисел. Таким чином, проблема підсумкових коренів притаманна декільком проблемам площинної обчислювальної геометрії, включаючи евклідові мінімальні простягаються дерева , найкоротші евклідові шляхи , триангуляції мінімальної ваги та евклідову проблему продавця подорожей . (Проблема Евклідового MST може бути вирішена в поліноміальний час, не вирішивши проблему підсумків коренів, завдяки основній структурі матроїдів і тому, що EMST є підграфом триангуляції Делоне.)

• Там є поліноміальний імовірнісний алгоритм, завдяки Йоханнес Blömer , щоб вирішити , є чи дві суми рівні. Однак якщо відповідь "ні", алгоритм Блемера не визначає, яка сума більша.

• Версія цієї проблеми ( ?) Навіть невідома в NP. Однак алгоритм Блёмера передбачає, що якщо проблема рішення знаходиться в НП, то вона також знаходиться в ко-НП. Таким чином, проблема навряд чи буде заповнена NP.$A > B$

Ось перелік проблем, які можуть або не можуть бути «достатньо» різними. За тим самим доказом, що і для ізоморфізму Графа, якщо будь-який з них є NP-повним, то Ієрархія поліномів руйнується до другого рівня. Я не думаю, що існує широкого консенсусу щодо того, хто з цих "повинен" бути в П.

• Графік Автоморфізм (визначте, чи має графік нетривіальний автоматизм). Зводиться до грамотного ізоморфізму, але невідомо (не думали?), Що є ГІ-важким.
• Груповий ізоморфізм та автоморфізм (де групи задані їх таблицями множення). Знову ж, зводиться до графіка Ізоморфізм, але не вважається GI-жорстким.
• Кільцевий ізоморфізм та автоморфізм. У певному сенсі це є дідусем усіх вищезазначених проблем, оскільки цілочисельний факторинг рівнозначний пошуку нетривіального автоморфізму кільця, а Ізоморфізм Графа зводиться до Ізоморфізму кільця. Дивіться Нерадж Каял, Нітін Саксену. Складність проблем кільцевого морфізму. Комплексна обчислюваність 15 (4): 342-390 (2006). (Цікаво, що визначення, чи має кільце нетривіальний автоматифізм, є в )$P$
• Цей пост Білла Гасарха містить деякі інші проблеми зі смаком теорії Рамзі, схожі на те, що вони можуть бути проміжними.
• Згідно з теоремою Махані, жоден рідкісний набір не може бути повним NP. Але ми також знаємо , що існують рідкісні безлічі в - P тоді і тільки тоді N E X P не дорівнює E X P . Таким чином, якщо припустити N E X P ≠ E X P , то вкладений варіант будь-якої задачі N E X P- завершений має проміжну складність. (Такий набір не може бути в P, якщо N E X P = E X $NP$$P$$NEXP$$EXP$$NEXP \neq EXP$$NEXP$$P$$NEXP = EXP$, що суперечить нашому припущенню.) Є багато природних -повних проблем.$NEXP$

Проблема з мінімальним розміром ланцюга (MCSP) - це моя улюблена "природна" проблема в NP, яка, як відомо, не є повною NP: Враховуючи таблицю істинності (розміром n = 2 ^ m) m-змінної булевої функції f, і задавши число s, чи має схема f розміром s? Якщо MCSP простий, то немає криптографічно захищеної однобічної функції. Ця проблема та її варіанти дали велику мотивацію для вивчення алгоритмів "грубої сили" в Росії, що призвело до роботи Левіна над повнотою NP. Цю проблему також можна розглядати з точки зору складності Колмогорова, обмеженої ресурсами: запитання, чи можна швидко відновити рядок з короткого опису. Цю версію проблеми вивчав Ко; ім'я MCSP було використано спочатку Каєм та Кабанцем, наскільки мені відомо. Більше посилань можна знайти в деяких моїх роботах: http://ftp.cs.rutgers.edu/pub/allender/KT.pdf http://ftp.cs.rutgers.edu/pub/allender/pervasive.reach.pdf

Монотонна самовизначення

Для будь-якої булевої функції $f=f(x_1, x_2, ..., x_n)$ , то поєднане $f^d=\bar{f}(\bar{x_1}, \bar{x_2}, ..., \bar{x_n})$ . З огляду на , $f(x_1, x_2, ..., x_n)$представлені формулою CNF, ми маємо вирішити, чи $f=f^d$ .

Ця проблема знаходиться в co-NP [ $\log^2 n$ ], тобто вона вирішується з недетермінованими кроками $O(\log^2n/ \log\log n)$ . Таким чином, у нього є квазіполіноміальний алгоритм часу ( $O(n^{\log n/\log \log n})$ час), і, отже, навряд чи він буде спільним NP-жорстким.

Досі відкрито, чи є ця проблема в P чи ні. Більш детально можна ознайомитись у статті 2008 року " Обчислювальні аспекти монотонної дуалізації: коротке опитування " Томаса Ейтера, Казухіса Макіно та Георга Готлоба.

Трівіальність вузла: зважаючи на замкнутий полігональний ланцюг у 3-просторі, він незазначений (тобто, навколишньо-ізотопний до плоского кола)?

Це, як відомо, є в НП глибокими результатами в нормальній теорії поверхні, але не відомо алгоритм багаторазового часу або твердість NP.

Невідомо, чи можна вирішити в поліноміальний час, якщо гравець 1 має виграшну стратегію в паритетній грі (з заданої стартової позиції). Однак проблема полягає в NP та co-NP і навіть у UP та co-UP.

Ви отримуєте дуже довгий перелік проблем, якщо готовий прийняти проблеми наближення, такі як наближення Max-Cut до коефіцієнта 0,878. Ми не знаємо, чи це NP-важко чи P (знаємо лише твердість NP, якщо вважати, що Uniuqe Games Conjecture).

У монотонній формулі CNF кожне застереження містить лише позитивні літерали або лише негативні літерали. У монтажному формулі CNF, що перетинається, кожна позитивна пропозиція має певну змінну, що є спільною для кожного негативного пункту.

Проблема рішення

$f$
$f$

$n^{o(\log\ n)}$

• Томас Ейтер та Георг Готлоб, поперечні обчислення гіперграфа та пов'язані з ними проблеми логіки та AI , JELIA 2002. doi: 10.1007 / 3-540-45757-7_53

Чи є дана трикутна 3-множинка 3-сферою? Від Джо О'Рурка.

Версія «Голуб» суми підмножини (або рівності підмножини підмножини).

Подано:

$S_1, S_2 \subseteq \{ 1, \dots, n \}$

Проблема суми підмножини голубів запитує таке рішення. Спочатку зазначено в « Алгоритмах ефективного наближення для проблеми рівності SUBSET-SUMS » Базгана, Санти та Тузи.

Існує маса проблем, пов’язаних із пошуком прихованих підгруп. Ви згадали факторинг, але існує також проблема дискретного журналу, а також інші, пов'язані з еліптичними кривими тощо.

Ось проблема в обчислювальному соціальному виборі, який, як відомо, не існує в P, і може бути, а може і не бути повним NP.

Порядок денний для збалансованих турнірів з одиночною елімінацією:

$T$$n=2^k$$a$

Запитання: чи існує перестановка вузлів ( дужки ), щоб a перемогла в індукованому турнірі з одиночної елімінації?

$P_k$$2^k$$V$$T$$V$$P_{k-1}$$2^{k-1}$$i>0$$P_k[2i-1]$$P_k[2i]$$e$$T$$P_{k-1}[i]=P_k[2i-1]$$e=(P_k[2i-1],P_k[2i])$$P_{k-1}[i]=P_k[2i]$$P_k$$T$$P_{k-1}$$2^k$$k$$P_{k-1},\ldots,P_0$$2^k$

Порядок денний для збалансованих турнірів з одиночною елімінацією (складання графіків):

$T$$n=2^k$$a$

$T$$2^k$$a$

$2^k$$x$$a$$2^{k-1}$$x$$2^{k-1}$$y$$x$$y$$k=0$

Деякі посилання:

1. Джером Ланг, Марія Сільвія Піні, Франческа Россі, Крістен Брент Венебл, Тобі Уолш: Визначення переможця у голосуванні в послідовному мажоритарному голосуванні. IJCAI 2007: 1372-1377.
2. N. Hazon, PE Dunne, S. Kraus та, M. Wooldridge. Як здійснити вибори та змагання. COMSOC 2008.
3. Тук Ву, Алон Альтман, Йоав Шохам. Про складність задач контролю розкладу турнірів з нокаутом. AAMAS (1) 2009: 225-232.
4. В. Василевська Вільямс. Закріплення турніру. AAAI 2010.

Погляньте на клас TFNP . У нього багато проблем із пошуком із проміжним статусом.

Проблема ізоморфізму індукованого підграфа має NP-неповні "ліві обмеження", припускаючи, що P не дорівнює NP. Див. Y. Chen, M. Thurley, M. Weyer: Розуміння складності ізоморфізмів індукованого підграфу , ICALP, 2008.

$NP$$NP$

Проблема з мінімальним розділенням: Знайдіть розділ набору вузлів на дві частини однакового розміру, щоб число ребер, що перетинаються, було мінімізоване.

Карпінський, Наближення мінімальної задачі про ділення: алгоритмічний виклик

Проблема ріжучого складу з постійною кількістю довжин об'єктів. Дивіться цю дискусію для отримання додаткової інформації.

$n$$v$$1$$v$$\beta$$v$$\beta > 1$

$\beta = \sqrt{n}$$\mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\beta$$\beta = n^{o(1/\log \log n)}$$\mathsf{NP}$

$G = (V,E)$$f$$v\in V$$f(v)$$e = uv\in E$$|f(u) − f(v)|$$f : V\rightarrow \{0, 1, 2,\dots, |E|\}$$\{1, 2,..., |E|\}$

1. JA Gallian. Динамічне опитування маркування графіків. Електронний журнал комбінаторики, 2009.
2. DS Johnson. Стовпчик повноти NP: Постійний посібник. Дж. Алгоритми, 4 (1): 87–100, 1983.
3. DS Johnson. Стовпчик повноти NP. Операції ACM за алгоритмами, 1 (1): 160–176, 2005.

$P$$NP$$O(n^{\log n})$$NP$$NP$

$a$$b$$a \cdot x+1$$b$

$\gamma$

Гарі та Джонсон у своєму семінарі "Комп'ютери та нездатність" говорять про це (с. 158-159):

$\gamma$$R_M$$M$

$$R_M=\{\langle x,y\rangle:there\ is\ a\ string\ z\ such\ that\ on\ input\ x\ and\ guess\ z\ M\ has\ output\ y\}$$

$L_1$$\Sigma_1$$\gamma$$L_2$$\Sigma_2$$L_1\propto_{\gamma}L_2$$M$$x\in\Sigma_1^*$$y\in\Sigma_2^*$$\langle x,y\rangle\in R_M$$\langle x,y\rangle\in R_M$$x\in L_1$$y\in L_2$$M$$x$$x$$x$$L_2$$x\in L_1$

$P$$NP$$O(n^{\log n})$

Наступна проблема, як вважається, є NP-проміжною, тобто вона є в NP, але ні в P, ні в NP.

Розкриття проблеми поліномального кореня (EPRP)

$p(x)$$\deg(p) \geq 0$$GF(q)$$q$$r$

$\deg(p)=0$

Для отримання додаткової інформації див. Моє запитання та пов'язане з цим обговорення .

Я не знаю, чи може зважена проблема ізоморфізму зваженого гіперграфа, запропонована у відповіді Тина Д. Нгуєна, просто не є повною GI. Однак існує проблема, пов'язана з ГІ, тісно пов’язана з ГІ, яка ще не зводилася до ГІ, а саме проблема струнного ізоморфізму (також її називають проблемою кольорового ізоморфізму ). Ця проблема фактично показана Ласло Бабаєм у квазіполіномічний час. Він представляє незалежний інтерес, оскільки він еквівалентний ряду проблем прийняття рішень в теорії (перестановки) групи:

• проблема перетину козета
• Проблема тестування подвійного членства
• Проблема групової факторизації

Проблема, яка, як відомо, не є ні FP, ні є NP-важкою, - це проблема пошуку мінімального дерева Штайнера, коли вершини Штайнера обіцяють потрапити на два прямих відрізки, що перетинаються під кутом 120 °. Якщо кут між відрізками ліній менше 120 °, то проблема є NP-жорсткою. Можна припустити, що коли кут більший за 120 °, то проблема полягає в ПП.

Отже, ця проблема вирішення наразі є проміжною складністю:

$q$
$q$

Звичайно, це може бути насправді P або бути NP-повним, але тоді, мабуть, ми мали б цікаву дихотомію при 120 ° замість проміжної проблеми. (Припущення також може бути помилковим.)

• Дж. Р. Рубінштейн, Д. А. Томас, Північна Нормалд, дерева Штайнера для терміналів, обмежених кривими , СІАМ Дж. Дискретна математика. 10 (1) 1–17, 1997. doi: 10.1137 / S0895480192241190

$G_1$$G_2$$n$$\pi$$G_1$$G_2$$NP$