Яка кількість мов, прийнятих DFA розміром

Питання є простим і прямим: для фіксованого , скільки (різних) мов приймається DFA розміром (тобто держав)? Я офіційно зазначу це: $n$ $n$ $n$

Визначте DFA як , де все як завжди, і є (можливо, частковою) функцією. Нам потрібно це встановити, оскільки іноді лише загальні функції вважаються дійсними. $(Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$ $\delta:Q\times\Sigma\to Q$

Для кожного визначте (еквівалентність) відношення на множині всіх DFA як: якщо і . $n\geq 1$ $\sim_n$ $\mathcal{A}\sim_n\mathcal{B}$ $|\mathcal{A}|=|\mathcal{B}|=n$ $L(\mathcal{A})=L(\mathcal{B})$

Тоді питання: для даного , що таке індекс ? Тобто, який розмір множини ? $n$ $\sim_n$ $\{L(\mathcal{A})\mid\mathcal{A}\textrm{ is a DFA of size }n\}$

Навіть коли є тотальною функцією, це не здається простим підрахунком (принаймні для мене). Графік може бути не підключений, і стани в підключеному компоненті, що містить початковий стан, можуть бути прийнятими, тому, наприклад, існує багато графіків розміром приймають . Те саме з іншими тривіальними комбінаціями для порожньої мови та інших мов, мінімальний показник DFA має менше, ніж держав. $\delta$ $n$ $\Sigma^*$ $n$

(Наївна) рекурсія теж не працює. Якщо ми візьмемо DFA розміром і додамо новий стан, тоді, якщо ми хочемо зберегти детермінізм і зробити новий графік з'єднаним (щоб спробувати уникнути тривіальних випадків), нам доведеться видалити перехід для підключення нового стану, але в такому випадку ми можемо втратити мову оригіналу. $k$

Будь-які думки?

Примітка. Я знову оновив запитання, формальною заявою та без попередніх відволікаючих елементів.

— Янома
джерело

Просто для уточнення: Ви маєте на увазі "скільки різних мов можна визначити, використовуючи

станів?", Де мова визначається за допомогою

держав, якщо є DFA з

станами, які приймають її. Також для регулярних виразів регулярний вираз "a * aaaaaa", безумовно, має> 1 конкатенації, але DFA потребує лише одного стану (два, якщо вам потрібна окрема раковина), ні?

n

$n$

n

$n$

n

$n$

— Євгеній Торстенсен

Вибачення: Для прикладу регулярного вираження це має бути "a a a a a *", оскільки це дозволяє будь-яке число.

— Євгеній Торстенсен

Визначення

видається дуже пов'язаним з поняттям "глибина крапки", за винятком того, що концепція зазвичай застосовується до мов, що не містять зірок (можливо, з причин, які @Evgenij Thorstensen окреслив).

c (r)

$c(r)$

— mhum

Тривіальне спостереження:

станів можна використовувати для визначення принаймні

різних мов.

n + 1

$n+1$

2^{n}

$2^n$

— Євгеній Торстенсен

Ми можемо отримати трохи більше, тому

здається нормальним. Але кількість n-державних автоматів становить приблизно

(якщо вважати

). Чи можемо ми отримати

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

n^{c n} 2^{n} = 2^{c n \log n + n} = 2^{Θ (n \log n)}

$n^{cn}2^n=2^{cn\log n+n} = 2^{\Theta(n\log n)}$

| Σ | = c

$|\Sigma|=c$

2^{ω (n)}

$2^{\omega(n)}$

— Каве

Я думаю, що це питання було вивчено раніше. Майк Домарацькі написав опитування про дослідження в цій галузі: "Перелік формальних мов", Бик. EATCS, vol. 89 (червень 2006 р.), 113-133: http://www.eatcs.org/images/bulletin/beatcs89.pdf

— Герман Грубер
джерело

g_{k} (n)

$g_k(n)$

g_{k} (n)

$g_k(n)$

f_{k} (n)

$f_k(n)$

n

$n$

k

$k$

g_{1} (n)

$g_1(n)$

1 \leq n \leq 10

$1\leq n\leq 10$

g_{2} (n)

$g_2(n)$

1 \leq n \leq 6

$1\leq n\leq 6$

g_{3} (n)

$g_3(n)$

1 \leq n \leq 4

$1\leq n\leq 4$