Узагальнена теорема Ладнера

45

Теорема Ладнера стверджує, що якщо P ≠ NP, то існує нескінченна ієрархія класів складності, яка строго містить P і суворо міститься в NP. Доказ використовує повноту SAT за багато-одного зменшення NP. Ієрархія містить класи складності, побудовані за допомогою своєрідної діагоналізації, кожен з яких містить деяку мову, до якої мови в нижчих класах не можна звести багато.

Це мотивує моє запитання:

Нехай C - клас складності, і D - клас складності, який суворо містить C. Якщо D містить мови, які є повними для певного поняття скорочення, чи існує нескінченна ієрархія класів складності між C і D стосовно зменшення?

Більш конкретно, я хотів би знати, чи є результати, відомі для D = P і C = LOGCFL або C = NC , для відповідного поняття скорочення.

Документ Лэднера вже включає теорему 7 для обмежених простором класів С, на що вказував Каве у відповіді. У найсильнішій формі це говорить: якщо NL ≠ NP, то між NL і NP існує нескінченна послідовність мов, що твердо збільшує твердість. Це дещо загальніше, ніж звичайна версія (теорема 1), яка умовна P ≠ NP. Однак робота Ладнера розглядає лише D = NP.

cc.complexity-theory reference-request np-intermediate

— Андраш Саламон
джерело

1

Спершу можна задати питання, зосереджуючись на класах, які ми вже знаємо, різняться. Наприклад, чи існує нескінченна ієрархія між AC

і AC

[6] стосовно проекцій? Це виглядає як складне питання! :-)

^{0}

$^0$

^{0}

$^0$

— Michaël Cadilhac

Дивіться також cstheory.stackexchange.com/questions/52/… для питання про інтервал від P до NP.

— Андраш Саламон

33

Відповідь на ваше запитання - "так" для широкого спектру класів і скорочень, включаючи скорочення простору журналу та вказані вами класи, як це доведено в цих роботах:

Х. Волмер. Техніка розбіжності мови була переглянута . Логіка інформатики, конспекти лекцій з інформатики Vol. 533, сторінки 389-399, 1990.

К. Реган та Х. Фолмер. Класи мов розбіжностей і складності журналу часу . Теоретичні інформатики, 188 (1-2): 101-116, 1997.

(Ви можете завантажити з gzip'нутимі POSTSCRIPT файли цих робіт тут .)

Докази відповідають основним принципом розширення Уве Шенінга теореми Ладнера:

Уве Шьонінг. Єдиний підхід для отримання діагональних множин у класах складності . Теоретичні інформатики 18 (1): 95-103, 1982.

Доказ Шенінга завжди був моїм улюбленим доказом теореми Лэднера - це і просто, і загально.

— Джон Вотрос
джерело

а як щодо занять з обіцянками?

— Маркос Віллагра

12

Цілком ймовірно, що ви можете досягти цього в загальних умовах. Майже напевно такий результат уже був доведений у загальній обстановці, але наразі в цьому посилання не обходиться. Тож ось аргумент з нуля.

$L_1$ $x01^{f(|x|)}$ $x$ $f$ $1$ $L_1$ $P \neq NP$ $L_1$ $L_2 =$ $x 0 1^{f(|x|)} | x \in L_1$ $L_i =$ $x 0 1^{f(|x|)} | x \in L_{i-1}$

$C$ $D$ $C$ $D$ $D$ $C$ $C$ $f$ $C$ $f$ $C$

— Райан Вільямс
джерело

8

$C=L$ $NC$

Оновлення

Перевірте документ Ладнера про структуру поліноміальної скорочуваності часу

$\leq_T^P$ $\leq_m^P$ $P \neq NP$ $NP - P$

$P$ $A$ $A \not \in P$ $A \leq_m^P B$ $B \not \leq_T^P A$

Також дивіться розділ 6, де обговорюються узагальнення:

Теорема 5. Якщо є клас часу , то і рефлексивні і транзитивні відношення і теореми 1-4 утримання з замінені . $C$ $\leq_m^C$ $\leq_T^C$ $P$ $C$

Теорема 7. Якщо є простором класу , то і рефлексивні і транзитивні відношення і теореми 1-4 утримання з замінені . $C$ $\leq_m^C$ $\leq_T^C$ $P$ $C$

У статті визначені терміни часовий клас та клас простору .

— Каве
джерело

Як я зрозумів докази Ладнера та Імпальяццо, вони, здається, використовують деякі інгредієнти, характерні для NP, SAT та багато-одного скорочення поліноміального часу. Моє запитання має на меті саме про те, чи можна використовувати ці інгредієнти більш загально.

— Андраш Саламон

@ András Salamon: Ні, насправді оригінальне підтвердження Ладнера не використовує жодного факту щодо іншого SAT, що він є обчислюваним (див. Теорему 1 вище). У розділі 6 він розглядає властивості, необхідні для скорочення, щоб працювати на його теореми. Я думаю, що - це космічний клас.

L

$L$

— Kaveh

Я думаю, що теорему можна також узагальнити до класів рівномірних схем, щоб теорема 1 також працювала для (не перевіряла деталі, я додаю її до посади, коли я це знайду або знайду посилання), але я не ' Не думаю, що його можна узагальнити до неоднорідних версій, оскільки доказ використовує той факт, що клас складності рекурсивно представлений. Було б цікаво знати, чи теорема 1 також відповідає (уніфікована версія), яка відповість на коментар Міхаеля Кадільхака під публікацією.

C = N C

$C=NC$

C = A C^{0}

$C=AC^0$

— Kaveh

5

Я задав подібне запитання Петру Шорю в Mathoverflow тут . За його словами, він не знає про такий результат.

Крім того, Райан Вільямс сказав щось смішне про теорему Ладнера, але я не можу знайти посилання. Це виглядає приблизно так: "Доказ теореми Ладнера - це процедура, яка нагадує зомбі, коли ви берете голову і тулуб про повну задачу NP, а потім зшиваєте руки і ноги алгоритму поліноміального часу". Це досить неприродний спосіб визначити NP-проміжна мова, припускаючи . $NP\neq P$

Я також подумав про це, і, можливо, ви можете скористатися зомбі-подібною процедурою Райана так: Нехай є повним набором для , і нехай . Тоді ви можете використовувати два підходи до доказування на , пробивши отвори або прокладки. $A$ $\sum_i^p$ $B \in \sum_{i-1}^p$ $B$

Іншою цікавою проблемою є розгляд узагальнення Ladner's до багатообіцяючих версій семантичних класів, таких як promisBPP, promisMA тощо.

— Маркос Вільягра
джерело

Я забув зазначити, що це стосується звичайно PH, і, здається, це більш правдоподібний підхід, ніж прийняття будь-якого класу складності.

— Marcos Villagra

5

Посилання: mathoverflow.net/questions/9221/…

— Райан Вільямс,

3

Я думаю, справа Ключового моменту тут є , що теорема 1 в статті Ладнера потребує рекурсивно представлена як це діагоналізації доказ. і семантичні класи і AFAIK ми не знаємо , якщо вони рекурсивно представлені. З іншого боку, рівномірний є синтаксичним класом і рекурсивно представлений.

C

$C$

B P P

$BPP$

M A

$MA$

N C

$NC$

— Кава

так, перерахування машин із семантичних класів не є рекурсивним. Але версії класів семантики з обіцянками (promisBPP, promisMA, ...) справді синтаксичні.

— Маркос Віллагра