Рішення лінійного програмування за один прохід із впорядкованими змінними

У мене є сім'я проблем лінійного програмування: максимізувати відповідно до ,$c' x$$A x\le b$$x\ge0$. Елементи$A$, $b$, і $c$ - це неотримані цілі числа, $c$суворо позитивний. ($x$ також має бути цілісним, але я буду хвилюватися про це пізніше.)

У моїй заяві часто буває, що коефіцієнти $A$ і $c$ такі, що спрощений однопрохідний алгоритм дає оптимальне рішення для кожного вибору $b$: алгоритм однопрохідного визначення елементів $x_1,\dots,x_n$ послідовно, вибираючи кожен $x_j$ бути максимально можливим значенням, що відповідає вже визначеним значенням $x_1,\dots,x_{j-1}$. У простому мові послідовність введення змінних справедлива$x_1$ до $x_n$, і він припиняється після $n$кроки. Це економить багато часу порівняно з симплекс-набором.

Цей алгоритм працює, коли стовпці $A$ та елементи $c$були відсортовані від "дешевого" до "дорогого". Змінна "дешева" - це стовпець$A$ із загалом малими значеннями, для яких відповідний елемент $c$ великий: для цього елемента $x$ ви отримуєте велику кількість продукції з не надто великим попитом на обмеження $b$. Тож алгоритм просто говорить: "Зробіть спочатку легкі речі".

Моє запитання: яка властивість $A$ і $c$ запевнив би нас, що цей спрощений алгоритм працює для всіх $b$? Моя початкова думка полягала в тому, що ненульові елементи$A$ повинно збільшуватися в кожному ряду, але це не правильно.

Ось декілька прикладів, все з $c=(1,1,1)$: $A_1=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 0\end{pmatrix}$, $A_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 2 \end{pmatrix}$, $A_3=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $A_4=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. Для всіх цих ситуацій послідовний алгоритм дає оптимальне рішення для всіх значень$b$ (шляхом чисельного експерименту). $A_3$ є єдиним, для якого також працюють усі перестановки стовпців. $A_1$ і $A_3$ особливо збиваючі, оскільки $(1,1,3)$ виглядає дорожче, ніж $(1,3,0)$ і $(1,1,1)$ дорожче, ніж $(1,0,0)$.

Я був би вдячний за будь-які вказівки до літератури, за будь-які подібні проблеми чи взагалі будь-які пропозиції. Мабуть, були й інші випадки, коли деякі змінні можна визначити «дешевшими», ніж інші, і їх можна спокійно зробити першими. Зважаючи на всю роботу, яку робили над лінійним програмуванням протягом багатьох років, схоже, що щось подібне, мабуть, вийшло, але я не зміг його знайти.

Напевно, найвідоміший випадок, коли відомий жадібний алгоритм для вирішення LP - це особливий випадок транспортної проблеми. Гоффман ("Про прості лінійні програми", у Convexity , т. 7 Звіту симпозіумів з чистої математики , стор. 317-327, 1963) довів, що якщо матриця витрат на проблему транспортування (максимізації) задовольняє властивість Монжа ($c_{ij} + c_{kl} \geq c_{il} + c_{kj}$ коли $1 \leq i < k \leq n$, $1 \leq j < l \leq n$) тоді оптимальне рішення можна знайти в жадібному вигляді, як описане вами.

У Гофмана також є оглядовий документ (« Про жадібні алгоритми, які досягають успіху ") 1985 року, в якому він обговорює відомі випадки, коли жадібний алгоритм дає оптимальне рішення для LP. Крім цитованої вище роботи (про яку він говорить, "більшість проблем лінійного програмування, відомих [до 1963 р.], Що сприйнятливі до жадного алгоритму, були особливими випадками ідеї Монжа"), він згадує лінійну інтерпретацію програмування Едмонда узагальнення матроїдів та обговорення випадку, коли$A$ є негативним, серед іншого.

Я думаю, є останні результати, але, сподіваємось, це хоча б частково відповідає на ваше запитання і дає вам кілька ідей, де ще шукати.

Завдяки пропозиції професора Співі я нарешті виявив те, що, на мою думку, є сучасним: Ульріх Фейгл, Алан Дж. Гоффман та Уолтер Керн, "Характеристика негативних коробкових жадних матриць", SIAM J. Disc. Математика. 9 (1996) С. 1-6. Матриця є "жадібною", якщо алгоритм, який я описав вище, дає оптимальне рішення для всіх$b$. Матриця "полегшена", якщо жадібний алгоритм дає оптимальне рішення з додатковою умовою$x\le d$ для усіх $b$ і все $d\ge0$. Ясна річ, що жадібний - це сильніший стан, ніж жадібний.

Завжди вважайте це $c_1\ge\dots\ge c_n>0$. Фейгл, Гофман та Керн це доводять$A$ поле жадібне, якщо і тільки якщо його немає $k\times(k+1)$ (для будь-якого $k$) підматриця форми $\begin{pmatrix} r_1 & s_1 & & & \\ r_2 & & s_2 & & \\ \vdots & & & \ddots \\ r_k & & & & s_k \end{pmatrix}$ з кожним $r_j>0$ і $\sum_{i:s_i>0} \frac{r_i}{s_i} > 1$. Витягуючи підматриці, дозволені довільні перестановки рядків, але не стовпці, і довільне підмноження рядків і стовпців допускається. Таким чином, зокрема, с$k=1$, ненульові елементи в кожному рядку $A$ повинні бути не зменшуючими.

На жаль, виявляється, що в моїй проблемі матриці не є жадібними, хоча я все ще вважаю, що вони жадібні. Наприклад, у моїх$A_1$вище умова порушена, і ця матриця не є коробкою, хоча вона жадібна. Наскільки мені відомо, результатів щодо виявлення жадібних матриць немає.

Найпростішим прикладом для подібного може бути проблема дробового загину, коли предмети дозволяються дробити. цю проблему (та її lp-подвійну) можна вирішити, сортуючи предмети за вагою за вагою, вибираючи найдовшу послідовність у цьому порядку, яка є можливою та фракціонізує останній елемент.