Давши графік, вирішіть, чи є його крайова підключення принаймні n / 2 чи ні

13

У главі 1 книги "Імовірнісний метод" Алона та Спенсера згадується така проблема:

Давши графік , вирішіть, чи є його крайова підключення принаймні чи ні. $G$ $n/2$

Автор згадує про існування алгоритму по Matula і покращує його . $O(n^3)$ $O(n^{8/3}\log n)$

Моє запитання: який найвідоміший час роботи для цієї проблеми?

Дозвольте описати вдосконалений алгоритм.

По-перше, визначте, чи має мінімальний ступінь принаймні чи ні. Якщо ні, то крайова підключення явно менше . $G$ $n/2$ $n/2$

Далі, якщо це не так, то обчислити домінуюче безліч з розміру . Це можна зробити за час за алгоритмом, описаним у попередньому розділі книги. $U$ $G$ $O(\log n)$ $O(n^2)$

Далі він використовує наступний не дуже важкий для доведення факт:

Якщо мінімальний ступінь дорівнює , то для будь-якого зрізання ребер розміром не більше що ділить на і , будь-який домінуючий набір повинен мати свої вершини і в і . $\delta$ $\delta$ $V$ $V_1$ $V_2$ $G$ $V_1$ $V_2$

$U = \{u_1, \ldots , u_k\}$ $G$ $n/2$ $n/2$ $U$ $i\in \{2, k\}$ $u_1$ $u_i$ $O(n^{8/3})$ $O(n^{8/3}\log n)$

ds.algorithms open-problem graph-algorithms

— Виняк Патхак
джерело

O (n^{8 / 3})

$O(n^{8/3})$

\tilde{O} (n^{2})

$\tilde{O}(n^2)$

2

O (n^{2})

$O(n^2)$

3

\tilde{O} (n^{2})

$\tilde{O}(n^2)$

O (m n + n^{2} \log n)

$O(mn + n^2\log n)$

Відповіді:

12

$n/2$ $n/2$ $n/2$ $X$ $\bar X$ $x := |X| \leq n/2$ $X$ $x - 1$ $X$ $n/2 - (x - 1)$ $x (n/2 - x + 1)$ $x (n/2 - x + 1) \geq n/2$ $(x - 1)(n/2 - x) \geq 0$

Як не дивно, єдина згадка, яку я вважаю цим результатом, - це конференція з біоінформатики. Мені б дуже цікаво побачити, чи це було доведено десь ще.

Редагувати: Рання посилання: Gary Chartrand: Графічно -теоретичний підхід до проблеми зв'язку , SIAM J. Appl. Математика. 14-4 (1966), стор 778-781.

— Фолк Хюффнер
джерело

Використовуючи наш веб-сайт, ви визнаєте, що прочитали та зрозуміли наші Політику щодо файлів cookie та Політику конфіденційності.

Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.