Мінімально незадовільні 3-CNF формули

Мені зараз цікаво отримати (або побудувати) та вивчити формули 3-CNF, які є незадовільними та мають мінімальний розмір. Тобто вони повинні складатися з якомога менше застережень (бажано m = 8) та якомога менше чітких змінних (n = 4 або більше), щоб вилучення принаймні одного пункту зробило формулу придатною.

Більш офіційно, будь-яка кваліфікована формула 3-CNF F повинна відповідати наступним умовам:

1. F незадовільний
2. F має мінімальну кількість (4+) різних змінних (або їх заперечення)
3. F має мінімальну кількість пунктів (8+)
4. кожне власне підмножина F є задоволеним (дозволяє вилучити будь-яке довільне застереження або положення).
5. F не має 2 застережень, які можна (i, j, k) & (i, j, ~k)зменшити до пункту 2-CNF, наприклад , НЕ дозволено (вони зводяться до (i,j))

Наприклад, при n = 4 існує багато мінімальних 8-пунктових формул 3-CNF, які є незадовільними. Для одного, дивлячись на 4-гіперкуб і намагаючись прикрити його ребрами (2-х граней), можна побудувати таку незадовільну формулу:

1. (~A,  B,  D)
2. (~B,  C,  D)
3. ( A, ~C   D)
4. ( A, ~B, ~D)
5. ( B, ~C, ~D)
6. (~A,  C, ~D)
7. ( A,  B,  C)
8. (~A, ~B, ~C)

Це кваліфікується як мінімально незадовільна формула 3-CNF, оскільки:

1. Це незадовільно:

   • Пункти 1-3 еквівалентні: D or A=B=C
   • Пункти 4-6 еквівалентні: ~D or A=B=C
   • Вони означають A=B=C, але пунктами 7 та 8 це суперечність.

2. Є лише 4 різних змінних.

3. Є лише 8 пунктів.
4. Видалення будь-якого пункту робить його задоволеним.
5. Жодна стаття 2 не може бути "зворотна" до пункту 2-CNF.

Тож я здогадуюсь, мої загальні питання тут є для мене важливими:

1. Які ще є невеликі мінімальні формули, які відповідають вищезазначеним умовам? (наприклад, 4,5,6 змінних та 8,9,10 пунктів)

2. Чи є якась база даних або "атлас" таких мінімальних формул?

3. Які не випадкові алгоритми існують для їх прямої побудови, якщо такі є?

4. Які є розуміння характеристик цих формул? Чи можна їх рахувати чи оцінювати, даючи n (# змінні) та m (# пропозиції)?

Заздалегідь дякую за відповіді. Я вітаю будь-яку відповідь чи коментар.

$\lnot A \lor \lnot B \lor \lnot C$$2$

$\lnot A \lor \lnot B \lor \lnot E$
$\lnot B \lor \lnot C \lor E$

$n=5$$m=9$

$l_1 \lor l_2 \lor l_3$$2$

$l_1 \lor l_2 \lor v$
$l_2 \lor l_3 \lor \lnot v$

$v$$n$$m$$1$$r=\frac{m}{n}$$1$$n$$r=1$

Я вважаю, що умова № 5 насправді не відповідає вашому прикладу і не може бути виконаною ніколи.
Нехай наступні пропозиції є рівнозначними:

( p, q) = (~A,B,D)(A,~B,~D)

Що дозволить нам зіставити положення A, B, C та D на нові змінні p, q, r та s як наступну таблицю істинності:

A B C D | p q r s
-----------------
0 0 0 0 | 0 1 0 0
0 0 0 1 | 0 1 0 1
0 0 1 0 | 0 1 1 0
0 0 1 1 | 0 1 1 1
-----------------
0 1 0 0 | 1 0 0 0
0 1 0 1 | 0 0 0 0
0 1 1 0 | 1 0 0 1
0 1 1 1 | 0 0 0 1
-----------------
1 0 0 0 | 0 0 1 0
1 0 0 1 | 1 0 1 0
1 0 1 0 | 0 0 1 1
1 0 1 1 | 1 0 1 1
-----------------
1 1 0 0 | 1 1 0 0
1 1 0 1 | 1 1 0 1
1 1 1 0 | 1 1 1 0
1 1 1 1 | 1 1 1 1
-----------------

І тепер ми можемо висловити пункти A, B, C і D через p, q, r та s:

1. (~A,  B,  D) = ( p, q,~r, s)( p, q,~r,~s)
2. (~B,  C,  D) = (~p, q, r, s)(~p,~q, r, s)
3. ( A, ~C   D) = ( p,~q,~r, s)(~p, q, r,~s)
4. ( A, ~B, ~D) = ( p, q, r, s)( p, q, r,~s)
5. ( B, ~C, ~D) = ( p,~q,~r,~s)(~p, q,~r,~s)
6. (~A,  C, ~D) = (~p, q,~r, s)(~p,~q, r,~s)
7. ( A,  B,  C) = ( p,~q, r, s)( p,~q, r,~s)
8. (~A, ~B, ~C) = (~p,~q,~r, s)(~p,~q,~r,~s)

Оскільки всі пропозиції показані та пов’язані з пропозиціями A, B, C та D. Тоді ми можемо стверджувати, що пункти p, q, r і s можна звести до:

( p, q, r)
( p, q,~r)
( p,~q, r)
( p,~q,~r)
(~p, q, r)
(~p, q,~r)
(~p,~q, r)
(~p,~q,~r)

Що, очевидно, порушує умову № 5.

Я хочу зазначити, що навіть приклад прямо не показує, що є 2 пропозиції, які можна зменшити до 2-CNF, але неявно є (наприклад (~ A, B, D) і (A, ~ B, ~ D)), можливо, ви не зможете виразити 2-CNF із заданими змінними, але коли ви введете інше відображення для проблеми, ви зможете їх виразити.