Кластеризація консенсусу за допомогою набору об'єднань

Я вже давно писав це запитання на MathOverflow , але, наскільки мені відомо, воно все ще відкрите, тому я переношу його тут, сподіваючись, що хтось, можливо, почув про нього.

Постановка проблеми

Нехай , Q і R є трьома розділами на p непусті частини (позначені P h 's, Q i ' s і R j 's) множини { 1 , 2 , ... , n }. Знайдіть дві перестановки π і σ, що мінімізують p ∑ i = 1 | P i ∪ Q π i ∪ R σ i | $P$$Q$$R$$p$$P_h$$Q_i$$R_j$$1,2,\ldots,n$$\pi$$\sigma$

$$\sum_{i=1}^p\left|P_i\cup Q_{\pi_i}\cup R_{\sigma_i}\right|.$$

Запитання

1) У чому полягає складність цієї проблеми (або відповідної проблеми рішення)?

2) Якщо проблема дійсно вирішена в поліноміальний час, чи залишається вона істинною для будь-якого числа розділів?$k\geq 4$

Попередня робота

Берман, ДасГупта, Као і Ванг ( http://dx.doi.org/10.1016/j.ipl.2007.06.008 ) вивчають подібну проблему для розділів, але використовуючи попарно Δ 'замість ∪ у вищевказаній сумі. Вони доводять, що проблема є MAX-SNP-важкою для k = 3 , навіть коли кожна частина має лише два елементи, зводячи MAX-CUT на кубічних графах до особливого випадку їх задачі, і дають ( 2 - 2 / k ) -приближення для будь-якого k . Поки що мені не вдалося знайти свою проблему в літературі чи пристосувати їх докази.$k$$\Delta$$\cup$$k=3$$(2-2/k)$$k$

Легкі підрозділи

Ось кілька підрозділів, за якими я виявився вирішуваним у поліноміальний час:

• випадок ;$k=2$
• випадок , для будь-якого k ;$p=2$$k$

Більше того, коли , жодна з двох частин не дорівнює, а всі частини мають розмір 2 , у нас є нижня межа 3 p + 1 (я не знаю, чи щільно).$k=3$$2$$3p+1$

Проблема НР-важка. Доведення полягає у зменшенні з наступної проблеми:

З огляду на тристоронній графік з N вершинами у кожній частині, чи існує N вершино-неперервних трикутників у G ?$G$$N$$N$$G$

$G$$A_1$$A_2$$A_3$$G$$E_{ij}$$A_i$$A_j$$1,\dotsc,N$

$n = |E(G)| + M$$M$$M = 10 |E(G)|$$p = N + 1$$|E(G)|$$\{1,\dotsc,n\}$$G$$P$$P_i$$i=1,\dotsc,N$$i$$A_1$$E_{1,2} \cup E_{1,3}$$P_{N+1}$$E_{2,3} \cup \{|E(G)| + 1, \dotsc, |E(G)| + M\}$$Q$$A_2$$A_1$$R$$A_3$$A_1$

$3|E(G)| - 3N + M$$G$$N$$M$$2 M$$P_{N+1}$$Q_{N+1}$$R_{N+1}$$|E(G)| + M$$2 |E(G)| - 3 N$$P_i$$Q_j$$P_i$$R_k$$Q_j$$R_k$$N$$G$