Щільність P-повних мов

Припустимо, - булева мова, з кінцевих рядків над . Нехай - кількість рядків у довжиною . Для функції від натуральних чисел до додатних дійсних чисел має верхню щільність якщо для всіх досить великих . $L$ $\{0,1\}$ $L_n$ $L$ $n$ $d(n)$ $L$ $d(n)$ $L_n \le 2^n d(n)$ $n$

Чи мають будь-які бульові мови P-повні верхню щільність ? $O(1/n)$

Мотивація

Парність має верхню щільність . ТАК (мова всіх кінцевих бінарних рядків) має верхню щільність 1. Будь-яка кінцева мова має верхню щільність 0. $1/2$
Рідка мова має властивість, що існує поліном такий, що для всіх . Якщо - розріджена мова, то для многочлена ступеня на один більший, ніж , тому верхня щільність дорівнює нулю. $L$ $p(n)$ $L_n - L_{n-1} \le p(n)$ $n$ $L$ $L_n \le p_1(n)$ $p_1$ $p$ $L$
Джин-І Цай і Д. Сівакумар показали, що P-повна мова не може бути рідкою, якщо P = L (= LOGSPACE). Оскільки P = co-P, будь-яка мова, доповнення якого є рідким, не може бути і P-повним, якщо тільки P = L.
За допомогою простої нерівності (див., Наприклад, Дослідження 2 Россера та Шенфельда 1962 ), PRIMES має верхню щільність . Запитання Чи відомі проблеми ПРИМЕНИ, ФАКТОРИНГУ, які є P-жорсткими? обговорює, чи PRIMES є P-жорстким (це, здається, зараз відкрито). $(\log_2 e)/n$
У певному сенсі повна (або універсальна) мова для класу складності містить всю структуру класу. Отже, моя попередня гіпотеза, заснована на дикій екстраполяції результатів Кая та Сівакумара, полягає в тому, що такі мови не можуть бути надто рідкими. Звичайна поліноміальна зв'язок, що визначає рідкісні мови, здається занадто обмежувальною, тому я запитую про обмежену, яка є менш обмежуючою.

Робота по ницості по Fortnow, Hemaspaandra і інші також , можливо , пов'язані між собою .

Питання може бути задано для інших класів, крім P, але я не можу пригадати жодних результатів, які дозволяли б встановити щільність, скажімо, -SAT. Вказівки на відповідну літературу були б дуже раді. $k$

Подяка

Див. Також пов'язане питання Умовна щільність праймів . Дякуємо @Tsuyoshi Ito та @Kaveh за корисні коментарі до попередньої версії цього питання, яка, на жаль, була погано поставлена.

cc.complexity-theory reference-request p-hardness

— Андраш Саламон
джерело

2^{n} / n

$2^n/n$

$1/n$

$L_n \subseteq \{0,1\}^n$ $d(n) \in \omega(1/n)$ $L'_{n + m} = \{x0^m | x \in L_n\}$ $m$ $n$ $L'$ $L'_k = \emptyset$ $k \neq n + m$ $L'$

d^{'} (n + m) = \frac{| L_{n + m}^{'} |}{2^{n + m}} = \frac{| L_{n} |}{2^{n + m}} \leq \frac{d (n)}{2^{m}}

$d'(n + m) = \frac{|L'_{n + m}|}{2^{n + m}} = \frac{|L_n|}{2^{n + m}} \leq \frac{d(n)}{2^m}$

$M$ $L$ $M'$ $L'$ $x$ $n$ $m(n)$ $m(n) \in poly(n)$

$1/n$ $m(n) = n$ $d'(2n) \leq d(n)/2^n \in O(1/n)$

— Артем Казнатчеєв
джерело

m

$m$

n

$n$

1 / \log n

$1/\log n$

Я думаю, що так, вам просто знадобиться m = log n. Загалом для m = f (n) ви можете вибрати будь-яке f, що знаходиться в LOG-просторі (з n в одинаковому). (або NC, якщо ви віддаєте перевагу цим зменшенням).

— Артем Казнатчеєв