Де і як комп’ютери допомогли довести теорему?

Цілі цього питання - зібрати приклади теоретичної інформатики, де систематичне використання комп’ютерів було корисним

1. будуючи гіпотезу, яка веде до теореми,
2. фальсифікація підказки або підходу до доказування,
3. побудова / перевірка (частини) доказу.

Якщо у вас є конкретний приклад, будь ласка, опишіть, як це було зроблено. Можливо, це допоможе іншим більш ефективно використовувати комп’ютери у своїх щоденних дослідженнях (що, як і сьогодні, здається, є досить рідкісною практикою в TCS).

(Позначено як вікі спільноти, оскільки немає єдиної "правильної" відповіді.)

Дуже відомий приклад - теорія чотирьох кольорів , спочатку доведена вичерпною перевіркою.

Зафіксуйте площин у площині. Нехай Т - триангуляція (тобто плоский графік прямолінійних вершин з точками у вигляді вершин, що повністю трикутний), а вага триангуляції - сума довжин ребер.$n$

Показати, що проблема триангуляції мінімальної ваги (MWT) була важкою для NP - це давно відкрита проблема, що ускладнюється тим, що довжини країв включають квадратні корені, і бажану точність, необхідну для їх чіткого обчислення, важко було пов'язати.

Mulzer і Rote показали, що MWT є жорстким NP , і в процесі використання комп'ютерної допомоги для перевірки правильності своїх гаджетів. Наскільки я знаю, альтернативного доказу немає.

Доказ Томаса Хейлса (його сайт, MathSciNet ) гіпотези Кеплера передбачав стільки аналізу справ - а випадки були в свою чергу перевірені комп'ютером - що він вирішив спробувати офіційне підтвердження цього. Його проект для цього - FlysPecK , і він вважає, що це займе 20 років роботи.

Дослідники з мов програмування регулярно використовують комп'ютерні докази у своїй роботі, хоча я не знаю, наскільки це важливо з точки зору їх дослідницького процесу (однак це, безумовно, утримує їх від необхідності виписувати багато копітких маніпуляцій).

Дорон Цайльбергер провів певну роботу в галузі комп'ютерних доказів. Найбільше, що він підготував програму Maple для підтвердження геометричних ідентичностей та іншу програму для доведення класу комбінаторних ідентичностей . Деякі з методів , які згадуються в книзі A = B .

Комп'ютери також використовувались для визначення верхніх меж часу виконання програм зворотного відстеження, що вирішують важкі проблеми NP, та побудови гаджетів для доказування результатів непереборності. Ця та інші наповнені цікавими темами очікують вас у короткому нарисі (попередження, екстремальна самореклама вперед) під назвою "Застосування практики до теорії". Дивіться http://arxiv.org/abs/0811.1305

З огляду на цей хороший список, схоже, я повинен оновити папір!

Контрприклад до гіпотези Hirsch , важливо лінійного програмування і багатогранних комбінаторики, був запропонований Франсіско Сантос зовсім недавно. Комп'ютерна перевірка була використана спочатку для встановлення деяких властивостей, необхідних для прикладу, хоча аргументи без сприяння обчислювальній потужності були виявлені згодом, пор. Запис у блозі Гіла Калай або стаття про арксів .

Не бачив цього згадуваного тут, але автоматизований доказ теореми вирішив давню відкриту проблему того, чи є алгебри Роббінса булевими:

http://www.cs.unm.edu/~mccune/papers/robbins/

Це особливо примітно, оскільки комп'ютер розробив усі докази, і проблема була відкрита протягом декількох десятиліть.

Не повністю впевнений, чи є він кваліфікованим як TCS, але, мабуть, це тісно пов'язане.

Алгоритм Карлоффа-Цвіка для MAX-3SAT досягає очікуваної продуктивності 7/8. Однак аналіз спирається на недоведені сферичні об'ємні нерівності. Ці нерівності були нарешті підтверджені за допомогою комп'ютерних доказів в іншому документі Цвіка .

Окрім доказів Хейлса до гіпотези Кеплера, як згадувалося вище, доказ гіпотети Сота та догадка Додекадра також є комп’ютерною допомогою.

Ви можете переглянути домашню сторінку Шалоша Б. Ехада . Цей комп’ютер вже деякий час публікує документи (як правило, з співавторами).

Крістіан Урбан використав асистента Ізабелла, щоб перевірити, що одна з основних теорем у докторській дисертації насправді була теоремою [1]. Використовуючи асистента, потрібно було внести кілька змін, але результат сильно виправдався.

Аналогічно, Урбан та Нарбу також виявили помилки в ручці та на папері, що підтверджують доказ повноти Крарі для перевірки еквівалентності.

Мейкле та Фльоріо формалізували Грюнберґу Грандлаген в Ізабеллі і продемонстрували, що, всупереч твердженням Гільберта, він все ще покладається на своє спонукання формалізувати геометрію аксіоматично (IIRC були докази в його доказуванні, отримані від Гільберта припускаючи речі щодо діаграм) [3] .

[1]: Повторна перевірка усунення: одне складне доведення - це справді доказ

[2]: Формування доказу повноти номінальної Ізабелли Крарі для перевірки еквівалентності

[3]: Формування Гірбертового Грундлагена в Ізабелі / Ізар

Результати « Геометрії двійкових пошукових дерев » Демена, Хармона, Яконо, Кейн та Патрашку були розроблені за допомогою програмного забезпечення для тестування різних схем зарядки та побудови оптимальних осів для невеликих послідовностей доступу. (І так, "осли" - це правильний термін.)

Н. Шанкар підтвердив (повністю і механічно) доведення Годеля про теорему про незавершеність, а теорему Церкви - Россера, використовуючи доказ теореми Бойєра - Мура. Є книга, що описує, як це робилося.

За словами Саймона Плоуффе , за допомогою комп’ютерних систем захисту було відкрито формулу алгоритму Бейлі-Борвейна-Плоуффа для обчислення n-го біта Пі без обчислення будь-якого з більш значущих бітів .

У середньому випадку алгоритмів є численні приклади. Можливо, найбільш ранніми є комп’ютерні експерименти, які призвели до роботи "Бенті, Джонсон, Лейтон, МакГеох та МакГеч у" STOC 1984 ", присвяченої роботі" Неочікувані очікувані результати поведінки для упаковки у смітник ".