Підрахунок слів, прийнятих звичайною граматикою

З огляду на звичайну мову (NFA, DFA, граматику чи регулярний вираз), як можна підрахувати кількість прийнятих слів на даній мові? Представляють інтерес як «з рівно n літерами», так і «з максимум n літерами».

У Маргарети Акерман є дві статті на відповідну тему перерахування слів, прийнятих у НФА, але я не зміг їх змінити, щоб ефективно підрахувати.

Схоже, обмежений характер регулярних мов повинен зробити їх підрахунок відносно простим - я майже очікую, що формула більше, ніж алгоритм На жаль, мої пошуки поки що нічого не з'явилися, тому я повинен використовувати неправильні терміни.

Для DFA, в якому початковим станом є стан , кількість слів довжиною які закінчуються у стані є , де - матриця передачі DFA (матриця, в якій число в рядку та стовпці - це кількість різних вхідних символів, які спричиняють перехід від стану до стану ). Таким чином, ви можете порахувати прийняття слів довжиною точно легко, навіть коли є помірно великим, просто обчисливши потужність матриці та додавши записи, відповідні станам приймання.k i A k [ 0 , i ] A i j i j k $0$$k$$i$$A^k[0,i]$$A$$i$$j$$i$$j$$k$$k$

Те ж саме працює для прийняття слів довжиною не більше , з дещо іншою матрицею. Додайте додатковий рядок і стовпець матриці, причому один у комірці, який є і в рядку, і у стовпці, один у новому рядку та стовпець початкового стану та нуль у всіх інших клітинках. Ефект цієї зміни до матриці полягає в тому, щоб при кожній потужності додавати ще один шлях до початкового стану.$k$

Це не працює для НФА. Я підозрюю, що найкраще зробити це просто перетворити на DFA, а потім застосувати алгоритм живлення матриці.

Нехай = ( Q = { д 1 , ... , д п } , Σ , & delta ; , Q F ) бути (недетермінірованного) кінцевий автомат з початком стану д 1 , Q F ⊆ Q і & delta ; ⊆ Q × Σ × Q .$A = (Q = \{q_1, \dots, q_n\}, \Sigma, \delta, Q_F)$$q_1$$Q_F \subseteq Q$$\delta \subseteq Q\times\Sigma\times Q$

Нехай генеруюча функція для всіх слів, які можна прийняти, починаючи з q i , тобто n- й коефіцієнт розширення її рядів [ z n ] Q i = | { w ∣ | w | = n ∧ w  прийнято від  q i } | .$Q_i(z)$$q_i$$n$$[z^n]Q_i = |\{w \mid |w| = n \wedge w \text{ accepted from } q_i\}|$

Ясно:

$Q_i(z) = \left[ q_i \in Q_F \right] + \sum\limits_{(q_i, a, q_j) \in \delta} x \cdot Q_j(z)$

Розв’яжіть отриману (лінійну) систему рівнянь для (використовуючи Mathematica або подібний інструмент). Тоді [ z n ] Q 1 - бажана величина.$Q_1$$[z^n]Q_1$

Це сходить до техніки, введеної для граматик Хомським та Шютценбергером (1963); він легко передається на кінцеві автомати.

Редагувати: Якщо ви хочете врахувати -переходи, просто залиште коефіцієнт x у сумі за відповідний перехід. Подібно, якщо у вас є "стиснуті" ребра, тобто замість символу a ∈ Σ слово w ∈ Σ k на переході, замініть x на x k .$\varepsilon$$x$$a \in \Sigma$$w \in \Sigma^k$$x$$x^k$

Я думаю, що це складна проблема підрахунку, див. Цей документ: Підрахунок розміру регулярних послідовностей заданої довжини дорівнює # P: S. Kannan, Z. Sweedyk та SR Mahaney. Підрахунок та випадкове генерування рядків у звичайних мовах. У симпозіумі ACM-SIAM з дискретних алгоритмів (SODA), стор. 551–557, 1995.

$\#\mathsf{NC}^1$