Чи існують природні поділи в недетермінованій ієрархії часу?

Початкова теорема недетермінованої ієрархії часу обумовлена Куком (посилання на С. Кука, Ієрархія недетермінованої часової складності , JCSS 7 343–353, 1973). У теоремі зазначається, що для будь-яких дійсних чисел$r_1$ і $r_2$ , якщо $1 \le r_1 \lt r_2$ то NTIME ( $n^{r_1}$ ) суворо міститься в NTIME ( $n^{r_2}$ ).

В одній з ключових частин доказу використовується (не визначена) діагоналізація для побудови роздільної мови від елементів меншого класу. Це не тільки неконструктивний аргумент, але й мови, отримані діагоналізацією, зазвичай не дають ніякого розуміння, окрім самого поділу.

Якщо ми хочемо зрозуміти структуру ієрархії NTIME, напевно потрібно відповісти на таке питання:

Чи існує природна мова в NTIME ( $n^{k+1}$ ), але не в NTIME ( $n^k$ )?

Один із кандидатів може бути k-ІЗОЛЯЦІЙним SAT , який вимагає пошуку формули CNF без інших рішень на відстані k Hamming k. Однак, довівши нижню межі здається це складно, як зазвичай. Очевидно, що перевірка кульки Хеммінга не відповідає потенційним рішенням, "потрібно" перевірити різні задачі $\Omega(n^k)$ , але це жодним чином не легко довести . (Зауважте: Райан Вільямс зазначає, що ця нижня межа для $k$ -ІЗОЛІТОВАНОГО САТ фактично виявиться P ≠ NP, тому ця проблема, здається, не є правильним кандидатом.)

Зауважимо, що теорема виконується безумовно, незалежно від недоведених поділів, таких як P проти NP. Таким чином, ствердна відповідь на це питання не дозволить вирішити P проти NP, якщо тільки воно не має додаткових властивостей, таких як $k$ -ІЗОЛЯТИЙ САТ вище. Природне відокремлення NTIME, можливо, допоможе висвітлити частину "важкої" поведінки НП, частина, яка виводить свої труднощі з нескінченної висхідної послідовності твердості.

Оскільки нижні межі важкі, я прийму як відповідь природні мови, для яких у нас може бути вагомий привід вважати нижню межу, хоча, можливо, ще немає доказів. Наприклад, якби це питання стосувалося DTIME, я би прийняв $f(k)$ -CLIQUE для функції, що не зменшується, $f(x) \in \Theta(x)$ , як природну мову, що, ймовірно, забезпечує необхідні розділення, на основі нижньої межі схеми Разборова та Россмана та $n^{1-\epsilon}$ -непроникливості CLIQUE.

(Відредаговано на адресу коментаря Каве та відповіді Райана.)

Наскільки я знаю, ми не знаємо таких мов, або якщо ми це робимо, є суттєві суперечки щодо "природності" їх. Я знаю, що це насправді не задовольняє відповідь, але можу сказати:

(А) Якщо довести час нижня межа для к-ІЗОЛЬОВАНІ SAT для кожного до , то ви на самому справі доведено P ≠ N P .$\Omega(n^k)$$k$$P \neq NP$

$NTIME[n^{k+1}] - NTIME[n^k]$$NTIME[n^k]$

$\Sigma_2 TIME[n]$$k$$O(\log (\sum_{i=1}^k {n \choose i}))$$k$

Ось доказ частини (а). Нехай ISOLATED SAT є версією задачі з заданою як частина вводу (унар, скажімо). Припустимо, ми доводимо, що ІЗОЛІТОВАНИЙ SAT вимагає часу Ω ( n k ) для всіх k . Якщо P = N P , то Σ 2 T I M E [ n ] є в T I M E [ n c ] для деякого фіксованого c (для доказу використовується ефективна версія теореми Кука: якщо вчасно працює алгоритм SAT n $k$$\Omega(n^k)$$k$$P=NP$$\Sigma_2 TIME[n]$$TIME[n^c]$$c$$n^d$$c > d^2$$\Sigma_2 TIME[n]$$TIME[n^k]$$k$$P \neq NP$

Ось доказ частини (b). Якщо кожен міг би бути ефективно зведений до k-ІЗОЛІТОВАНОЇ формули SAT (наприклад, всі n бітні екземпляри L зводяться до k -ІЗОЛІТОВАНИХ SAT формул не більше f ( k ) n c розмір), то N P = ⋃ k N T I M E [ n k ] ⊆ Σ 2 T I M E $L \in NTIME[n^k]$$n$$L$$k$$f(k) n^{c}$ . Це одразу означає, що c o N P ≠ N P , окрім того, це виглядає дуже малоймовірним, що всі N P можуть бути змодельовані так ефективно в ієрархії поліномів.$NP=\bigcup_{k} NTIME[n^k] \subseteq \Sigma_2 TIME[n^{c+1}]$$coNP \neq NP$$NP$