Теорія складності, коли оракул є частиною вхідних даних

Найпоширеніший спосіб зустрічі оракул у теорії складності полягає в наступному: Фіксований оракул стає доступним, скажімо, машині Тюрінга з певними обмеженими ресурсами, і вивчається, як оракул збільшує обчислювальну потужність машини.

Однак є й інший спосіб, коли іноді трапляються оракули: як частина введення . Наприклад, припустимо, я хочу вивчити алгоритми обчислення обсягу заданого високомірного політопа. Класично, політоп потрібно було б вказати, надавши список його граней або якесь інше явне подання. Однак ми можемо також поставити проблему обчислення об’ємного політопа, який визначається об'ємним оракул, яка приймає координати точки в просторі як вхідні та виводить "так", якщо і лише тоді, коли дана точка лежить всередині політопа. Тоді ми можемо запитати, які обчислювальні ресурси потрібні для обчислення обсягу політопа, який вказаний таким чином. У цьому конкретному випадку ми маємо дуже приємну схему наближення поліноміального часу Дайєра, Фриза та Каннана, що, що цікаво, з точки зору теорії складності, є доказом того, що випадковість істотно допомагає цій проблемі, оскільки жоден детермінований алгоритм не може виконувати так само, як алгоритм Дайер-Фриз-Каннана.

Чи існує систематичний спосіб вивчення теорії складності проблем, в яких оракули надаються як частина вхідних даних? Це якимось чином зводиться до звичайної теорії класів складності з оракулами? Моя здогадка - ні, і тому, що існує занадто багато різних способів, щоб оракул міг бути поставлений як частина вхідних даних, кожну проблему подібного роду потрібно вирішувати спеціально. Однак я був би радий, що мені було доведено неправильно з цього приводу.

Це називається Теорія складності 2-го типу. Існує праця Кука, Імпальяццо та Ямакамі, яка добре пов’язує її з теорією родових оракул.

Це, мабуть, далеко не повна відповідь, але, сподіваємось, це вказує на деякі місця, на які слід звернути увагу.

Проблеми, де частина введення подається як оракул, іноді називають проблемами з неявним введенням . Це зручна модель, наприклад, при вивченні імовірнісних доказів .

Важливим напрямом дослідження проблем із неявним введенням є теорія складності запиту , де складність вимірюється виключно кількістю запитів до вхідного оракула, ігноруючи кількість обчислень між запитами. Багато класів складності мають своїх аналогів по складності запитів, а поділ між класами складності за складністю запитів часто передбачає поділ оракул між відповідними класами в обчислювальній складності.

Я не знаю вивчення класів складності проблем із неявним введенням (а не окремими проблемами) з урахуванням витрат на обчислення, але, напевно, деякі люди знають.

Модель, коли введення подається як оракул, вивчається в теорії обчислюваності та обчислювальному аналізі. Однією з моделей, які здаються близькими до того, що вам потрібно, є модель TTE (Тип другої ефективності). Хорошим посиланням на нього є книга Клауса Вайхрауха " Обчислювальний аналіз ". Він також коротко розповідає про складність у главі 7.

У книзі Кер-І Ко " Обчислювальна складність реальних функцій " обговорюється ще одна модель доступу до оракула, яка здається більш придатною за складністю. Питання щодо представлення об'єктів вищого типу та способу доступу до оракула є делікатними питаннями. Дивіться, наприклад, нещодавній документ Стівена А. Кука та Акітоші Кавамури « Теорія складності для операторів в аналізі » від STOC 2010 та його кандидатську дисертацію . Одне з головних питань полягає в тому, щоб зробити модель розумною, потрібно приділити машині достатньо часу для опрацювання відповідей від оракула (інакше навіть не можна обчислити оператора програми). Для поліноміального часу та поліноміального простору це можна зробити за допомогою поліномів вищого порядку на основі Стівена А. Кука та Брюса М. Капрона 'Нова характеристика здійсненності типу 2 "FOCS 1991 та" Характеристики основних можливих функціоналів кінцевого типу "STOC 1989.