Квантові докази класичних теорем

Мене цікавлять приклади проблем, коли теорема, яка, здавалося б, не має нічого спільного з квантовою механікою / інформацією (наприклад, щось говорить про суто класичні об'єкти), все-таки можна довести за допомогою квантових інструментів. Дослідження Квантові докази класичних теорем (А. Друкер, Р. Вольф) дає хороший перелік таких проблем, але, безумовно, є ще багато.

Особливо цікавими можуть бути приклади, коли квантове доведення не тільки можливе, але і «більш освітлювальне», аналогічно реальному та комплексному аналізу, де введення реальної проблеми у складну обстановку часто робить її більш природною (наприклад, геометрія простіша з алгебраїчно закритий тощо); іншими словами, класичні проблеми, для яких квантовий світ є їх "природним середовищем існування".$\mathbb{C}$

(Я не визначаю тут "квантовості" в будь-якому точному сенсі, і можна стверджувати, що всі такі аргументи зрештою зводяться до лінійної алгебри; ну також можна перевести будь-який аргумент, використовуючи складні числа, щоб використовувати лише пари реал - але що ж ?)

Існує нещодавній документ від Скотта Ааронсона, який дає новий доказ того, що постійний номер # P-жорсткий. Цей доказ ґрунтується на моделі лінійно-оптичних квантових обчислень і є більш інтуїтивним, ніж у Леслі Валіант.

На мою думку, мені подобається наступний документ:

Каталін Фрідль, Габор Іваніос, Міклош Санта. Ефективне тестування груп. В STOC'05.

Тут вони визначають "класичний" тестер для абелевих груп. Однак спершу вони починають, даючи квантовий тестер, а потім продовжують, усуваючи всі квантові частини.

Мені подобається ця робота в тому, що вони використовують квантовий тестер для здобуття інтуїції та використовують його для вирішення проблеми. Може здатися більш складним підхід (починаючи з квантового та класичного ходу), але автори - добре відомі дослідники квантових обчислень. Тож, можливо, для них легше почати з цього.

Я б сказав, що їх основний технічний внесок - це тестер гомоморфізму, який вони використовують для усунення квантових частин.

Два дуже останніх та цікавих результату:

• Семюель Фіоріні, Серж Массар, Себастьян Покутта, Ганс Радж Тіварі та Рональд де Вольф довели, що "не існує лінійної програми розміру полінома (LP), пов'язана з якою політоп передається політопу мандрівного продавця, навіть якщо LP не вимагає симетричності "(цитується з реферату).
  Вони використовують квантову складність спілкування як інструмент. Дивіться їхню статтю та допис у блозі Гіла Калай . Також зауважте коментар Дейва під повідомленням Гіла Калай. Я ще не читав статті, тому не можу коментувати себе, де і як використовуються квантові речі.

• Ендрю М. Чайлдс, Шелбі Кіммель та Робін Котарі використовували квантову складність запитів, щоб довести нижню межу для дуже класичної міри, що є кількістю функцій воріт формули, таких як PARITY. Дивіться їхній папір .

Оскільки постійні дають амплітуди ймовірності результатів вимірювання бозонів після втручання в лінійний інтерферометр, Шель отримав простий "квантовий" доказ того, що абсолютне значення постійної будь-якої унітарної матриці дорівнює 1 ( http://arxiv.org/abs / Quant-ph / 0406127 ).

• Дивіться також класичне обчислення, яке охоплює квантові ідеї, свого роду напівпопулярний огляд / опитування цього класичного / квантового явища дихотомії, написане Волховером для інституту Сімона з деякими прикладами та приводами / реф.

В останні роки квантові ідеї допомогли дослідникам довести безпеку перспективних схем шифрування даних, званих криптосистемами на основі ґратки, деякі програми яких можуть оповити чутливу інформацію користувачів, наприклад ДНК, навіть від компаній, які її обробляють. Доказ квантових обчислень також призвів до формули мінімальної довжини кодів для виправлення помилок, які є гарантією проти корупції даних.

Квантові ідеї також надихнули низку важливих теоретичних результатів, таких як спростування старого помилкового алгоритму, який стверджував, що ефективно вирішити відому складну проблему продавця подорожі, яка запитує, як знайти найшвидший маршрут через кілька міст.

• ще один недавній приклад, схожий на напрямок досліджень природних доказів Разборова / Рудича (який пов’язаний поділом класу складності з розбиттям генераторів випадкових чисел)

Квантова нижня межа для розрізнення випадкових функцій від випадкових перестановок Генрі Юена

Проблема розрізнення випадкової функції та випадкової перестановки на домен розміром N важлива в теоретичній криптографії, де безпека багатьох примітивів залежить від твердості проблеми. Ми вивчаємо складність квантового запиту цієї проблеми ...