Неконструктивні функції та аномальні результати

У книзі Арора-Барак у визначенні функцій, що можна сконструювати за часом, сказано, що використання функцій, які не можна сконструювати за часом, може призвести до "аномальних результатів". Хтось має приклад такого «аномального результату»? Я, зокрема, чув, що можуть існувати такі функції, які теорема ієрархії часу не містить, чи має хто-небудь приклад таких функцій? Чи є щось про це десь у літературі?

Теорема пробілу Бородіна : для кожної загальної обчислюваної функції$g(n) \geq n$, є загальна обчислювальна функція $t$ такий як $DTIME[g(t(n))] = DTIME[t(n)]$.

Насправді це стосується будь-якого заходу Блюма щодо складності замість $DTIME$.

Дивіться також сторінку вікіпедії та посилання на неї.

Оскільки стаття у Вікіпедії не дає доказів, і папір є на ACM DL, я подумав, що може бути корисним розмістити підтвердження тут:

ТЕОРЕМА 3.7. (Теорема прогалини).

Дозволяє $\Phi$ бути мірою складності, $g$ не зменшується рекурсивна функція така, що $\forall x, g(x) \geq x$. Тоді існує зростаюча рекурсивна функція$t$ такий, що функціонує обчислювальну міру складності $t$ такі самі, як функції, що обчислюються мірою складності $g\circ t$.

ДОКАЗ.

Визначте $t$ наступним чином:

$$t(0) := 1$$ $$t(n) := \mu{ k > t(n-1)}: \forall i \leq n, (\Phi_i(n)<k \lor \Phi_i(n)> g(k) )$$

1. для усіх $n$, є $k$, оскільки для всіх $i \leq n$:

   а. якщо$\Phi_i(n)$ тоді не визначено $\forall k, \Phi_i(n)>g(k)$, і

   б. якщо $\Phi_i(n)$ визначені тоді $\exists k, \Phi_i(n) < k$.

2. $k$ можна знайти рекурсивно, оскільки $\Phi$ є мірою складності і, таким чином $\Phi_i(n) <k$ і $\Phi_i(n) > g(k)$ є рекурсивними предикатами.

3. $t$ задовольняє теорему, оскільки $n \geq i$ випливає, що або $\Phi_i(n) < t(n)$ або $\Phi_i(n) > g \circ t(n)$.

QED.

Ми спостерігаємо, що довільно велике $t$можна знайти, що задовольняє теорему 3.7. Припустимо, ми хочемо$t(n) > r(n)$, то визначте

$$t(0) := r(0) + 1$$ $$t(n) := \mu{k > max\{t(n-1), r(n)\}}: \ldots$$

(від Аллана Бородіна " Обчислювальна складність та існування прогалин складності ", JACM 1972, з незначними модифікаціями.)