Технічне запитання про випадкові прогулянки

(На моє початкове запитання досі не було відповіді. Я додав додаткові роз'яснення.)

Аналізуючи випадкові прогулянки (на ненаправлених графах), розглядаючи випадкову ходу як ланцюг Маркова, ми вимагаємо, щоб графік був не двостороннім, так що застосовується фундаментальна теорема ланцюгів Маркова.

Що станеться, якщо графік $G$замість цього двосторонній? Мене конкретно цікавить час удару$h_{i,j}$, де є край між $i$ і $j$ в $G$. Скажіть двосторонній графік$G$ має $m$краї. Ми можемо додати в графіку самовільну петлю до довільної вершини, щоб зробити отриманий графік$G'$неподільний; застосовуючи фундаментальну теорему ланцюгів Маркова до$G'$ ми тоді отримуємо це $h_{i,j} < 2m+1$ в $G'$, і це очевидно також є верхньою межею для $h_{i,j}$ в $G$.

Питання: Чи правда, що сильніша претензія $h_{i,j} < 2m$ тримає в $G$? (Це бачили в заявках в аналізах алгоритму випадкової ходьби для 2SAT.) Або нам дійсно доводиться пройти цей додатковий крок додавання самокрутки?

Ця відповідь виявилася чимось відмінною від того, що насправді цікавило запитувача. Залишаючи це тут, щоб інші не повторили ту ж помилку.

У більшості випадків можна формально обґрунтувати інтуїтивне уявлення про те, що «самооцінка циклу може лише уповільнити ходьбу» аргументом зв'язку. Наприклад, у цьому випадку можна поєднати прогулянку з петлями самоврядування (назвемо це$A$) і той, що не має циклів самоврядування (назвемо це $B$) так що $A$робить ті ж дії, що і$B$, але затримано в часі. Наприклад, це можна зробити так: Припустимо, що$B$ починається о $u = x_0$ і проходить через $x_i: i =1,2,\ldots,k$. Тепер ми реалізуємо$A$ наступним чином: $A$ також проходить через ті самі вершини, що і $B$, за винятком цієї вершини $x_i$, він чекає геометричного ($p_i$) час, де $p_i$ - ймовірність само циклу при $x_i$. Зауважте, що це правильна реалізація$A$ (всі ймовірності переходу правильні), і форма сполучення це забезпечує $A$ ніколи раніше не досягає вершин $B$, тобто ми поєднали $H_t^A$ і $H_t^B$ (випадкові часи ударів за дві прогулянки), так що $H_t^A \geq H_t^B$ з вірогідністю $1$. Таким чином, випливає нерівність очікуваного часу удару.

Я раніше публікував це як коментар, і я вважаю, що він відповідає ствердно (коли) $i$ і $j$ з'єднані ребром у графі $G$ (незалежно від того, двопартійна вона чи ні), $h(i,j)$, очікуваний час удару з $i$ до $j$ задовольняє $h(i,j) < 2m$.)

Слід також зазначити, що в первісному редакторі не було зазначеного питання $i$ і $j$ є суміжними, тому хоча попередні відповіді стосуються початкового питання, вони не стосуються нової редагованої версії.

Якщо $i$ і $j$ є суміжними, час сполучення $C(i,j)=h(i,j)+h(j,i)=2mR(i,j)$, де $R(i,j)$ - ефективний опір між $i$ і $j$ в G, і є максимум $1$ (відтоді $i$ і $j$з'єднані ребром). Це показує, що$h(i,j)<2m$ коли $i$ і $j$ суміжні в $G$, оскільки обидва $h(i,j)$ і $h(j,i)$ суворо позитивні.

Ідентичність $C(i,j) = 2mR(i,j)$ справедливо для довільних вершин $i$ і $j$. Доказ з’являється, наприклад, у книзі Ліона і Переса.

@ user686 Вибачте, за попередню відповідь: я не розумів, що вас турбує $2m+1$ проти $2m$. Однак у такому випадку я не вважаю, що заява, зроблена там, відповідає дійсності, якщо ви додаєте самокрутку лише в$j$. Випадкові прогулянки, починаючи з$i$ у випадку обох $G'$ і і $G$ можна з'єднати так, щоб вони взяли $same$ кроки в той же час, поки вони не дістаються $j$. Це означає що$H(i,j)_G=H(i,j)_{G'}$, і очікувані часи враження повинні бути рівні.

Також, оскільки зв'язаний $h_{i,j} < 2m+1$ взагалі неправильно (на шляху $m$ вузли, $h_{i,j}$ може бути як великий $\Theta(m^2)$), ваш графік особливий?

PS: Я оновив свою попередню відповідь, оскільки, здається, це не стосується вашої основної проблеми.