Сортування точок таким чином, щоб мінімальна евклідова відстань між точками поспіль була максимальною

Враховуючи набір точок в 3D-декартовому просторі, я шукаю алгоритм, який буде сортувати ці точки, таким чином, щоб мінімальна евклідова відстань між двома точками поспіль була максимальною.

Було б також вигідно, якби алгоритм мав тенденцію до більш високої середньої евклідової відстані між послідовними точками.

graph-algorithms cg.comp-geom optimization

— Ліор Коган
джерело

Перехресне , мотивація .

— Юкка Суомела

Звучить як версія максимізації вузького місця TSP . Або версія вузького місця найдовшої проблеми . Чи має це ім’я?

— Юкка Суомела

Я б рекомендував використовувати евристику k-кластеризації gonzalez (жадібна стратегія). не думаючи про це повністю, здається, що це повинно дати 2-наближення?

— Суреш Венкат

На жаль, як зазначалося, Гонсалес не дасть належної відповіді (врахуйте бали (-100,0), (99,0) та (100,0)). Якщо, наприклад, ми почнемо з неправильної точки (-100,0), отримаємо жахливу відповідь. Досі можливо, що запустити гонзалес з будь-якої точки та взяти найкращу відповідь спрацює.

— Суреш Венкат

Відповіді:

ETA: Все, що нижче, знаходиться у статті " Про максимальний розкид TSP ", Arkin et al, SODA 1997.

Я не знаю точних відповідей, але ось інший підхід, який трохи відрізняється від пропозиції Суреша щодо кластеризації Гонсалеса:

Припустимо для простоти, що є парним. Для кожної вершини знайдіть медіану відстаней . Сформуйте непрямий графік, у якому кожна вершина з'єднана з іншими вершинами, що знаходяться принаймні від медіанної відстані. Мінімальний ступінь у цьому графіку становить щонайменше , тому за теоремою Дірака можна знайти в цьому графіку гамільтонів цикл. $n$ $p$ $n-1$ $d(p,q)$ $p$ $n/2$

З іншого боку, в диску розміщено вершин, центрованих на з радіусом , занадто багато, щоб утворювати незалежний набір у циклі, тому будь-який гамільтонів цикл повинен був мати край, що з'єднує деякі з цих вершин, довжиною не більше . Тому цикл Гамільтонів, знайдений цим алгоритмом, у гіршому випадку є 2-наближенням до максимального циклу вузького місця. $n/2 + 1$ $p$ $d(p,q)$ $2d(p,q)$

Це буде працювати в будь-якому метричному просторі та дає оптимальне відношення наближення серед алгоритмів, які працюють у будь-якому метричному просторі. Тому що, якщо ви могли наблизитись краще, ніж до коефіцієнта два, то ви могли б точно вирішити задачі гамільтонівського циклу, зменшивши вхідний графік до задачі гамільтонівського циклу в метричний простір з відстані 2 для кожного краю графіка та відстані 1 для кожного не -обростати.

Ймовірно, з певною обережністю ви можете змайструвати це в алгоритмі наближення для шляхів замість циклів.

— Девід Еппштейн
джерело

Чи є підстави вважати, що в справі Евкліда немає ПТСА?

— Jukka Suomela

Ніякої причини, про яку я знаю. Але звичайні методи PTAS для проблем проектування мережі Евкліда працюють лише для мінімізації, а не для максимізації.

— Девід Еппштейн

Єдиним винятком, про який я знаю, є праця Чен та Хар-Пеледа на ПТСА для орієнтування в літаку. Це проблема максимізації.

— Чандра Чекурі

Ми завантажили переддрук, який вирішує це питання, тобто дає PTAS для максимального розсіювання TSP у евклідовій справі. arxiv.org/abs/1512.02963 (László Kozma, Tobias Mömke: PTAS для евклідового максимального розсіювача TSP)

— Ласло Козма

Ми завантажили переддрук, який вирішує це питання, тобто дає PTAS для максимального розсіювання TSP у евклідовій справі. http://arxiv.org/abs/1512.02963 (László Kozma, Tobias Mömke: PTAS для евклідового максимального розсіювача TSP)

— Ласло Козма
джерело