Обчислення константи Чегера: можливо для яких класів?

19

Обчислення константи Чегера графа , також відомого як ізопериметрична константа (оскільки це по суті співвідношення мінімальної площі / об'єму), як відомо, є NP-повним. Зазвичай це приблизне значення. Мені цікаво дізнатися, чи відомі точні поліноміальні алгоритми для спеціальних класів графіків. Наприклад, чи все ще NP-комплект для звичайних графіків ? Для регулярних графіків відстаней ? (Я не вивчав існуючі докази повноти NP, щоб вивчити їхні припущення.) Літературні вказівники оцінені - дякую!

ds.algorithms reference-request graph-algorithms

— Джозеф О'Рурк
джерело

3

це приємне питання. Чи наближення має щось спільне з найрідкіснішими методами вирізання?

— Суреш Венкат

1

Я знаю, що це давнє запитання, але мені було цікаво, чи хтось знав про наближення поліноміального часу для загальних графіків, які отримують константу в межах деякого фіксованого відсотка?

— yberman

11

Зауважте, що наближення найрідкішого розрізу до дає наближення для постійної Чегера, як визначено. Ось деякі статті, які дають алгоритми постійного наближення для найрідкісного вирізання обмежених графіків: $\alpha$ $2\alpha$

Обмежений рід: http://dl.acm.org/citation.cfm?id=1873619
Обмежена тривалість: http://arxiv.org/abs/1006.3970

Крім того, http://arxiv.org/abs/1006.3970v2 доводить, що найрідкісний зріз є NP-жорстким для графіків з пропускною здатністю 2 і має ще декілька посилань на наближення найрідкісного розріза на обмежені екземпляри.

Я б припустив, що для всіх класів графіків, згаданих у роботі, не відомі точні алгоритми (оскільки їх цікавлять наближення). Зокрема, якщо найрідкісний зріз є NP-важким для графіків із шириною доріжки 2, це також NP-важко для графіків шириною 2 та шириною прорізу 2. Я вважаю, що це не дає багато місця… можливо, є ще один кращий параметризація для найрідкіснішого зрізу.

Я майже впевнений, що найрідкісний розріз є NP-важким на звичайних графіках, але не можу знайти посилання.

Пер помітив, що я не був обережним, коли дивився на папери вище. Результатом твердості є нерівномірний найрідкісніший зріз. Обчислити рівномірний найрідкісний зріз або константу Cheeger на деревах легко (WLOG, щоб оптимальний зріз розділяв піддерево). З трохи більше роботи, яка дає алгоритм динамічного програмування для обчислення константи Cheeger на обмежених графіках ширини.

Таблиця 1 у статті 2 вище згадує також результат, який дає постійне наближення для графіків із виключеним мінором.

Для обмежених графіків роду найкращим, що, здається, відомим, є постійне наближення (папір 1 вище дає де - рід. $O(\sqrt{\log g})$ $g$

— Сашо Ніколов
джерело

Ви не можете просто зробити будь-який графік регулярним, додавши самокрутки?

— MCH

2

@MCH таким чином вершини непарних ступенів залишаються непарними, а парні вершини залишаються парними

— Сашо Ніколов

1

Результат твердості, який ви згадуєте для пропускної здатності 2, стосується нерівномірного найрідкісного розрізу, що не так актуально для константи Cheeger. Дійсно, наскільки я бачу, обчислити рівномірний найрідкісний зріз або постійну Чегера точно в графіках обмеженої ширини.

— Пер Австрін

5

Для точного рішення плоских графіків див. Парк та Філіпс, STOC 93 . Це по суті для рівномірних вимог найрізкіших скорочень, з незначною різницею, що їх знаменником є | S | замість | S | * | VS |. Як вказував Пер, випадок неоднакових вимог різний.

— Роберт Крайтгамер
джерело