Сортування за евклідовою дистанцією

$S$ - це сукупність точок на площині. Наодній площині задаєтьсявипадкова точка $x \notin S$ Завдання полягає в сортуванні всіх $y \in S$ по евклідовій відстані між $x$ і $y$ .

Немозковий підхід - це обчислити відстані між $x$ і $y$ для всіх $y \in S$ а потім сортувати їх за допомогою будь-якого швидкого алгоритму.

Чи є спосіб зберігання або попередньої обробки $S$ щоб процес сортування став швидшим?

cg.comp-geom sorting

— Олексій К.
джерело

Ви можете розглянути сітку відповідного розміру та групу точок за відповідним квадратом (використовуючи, скажімо, хеш-таблицю). Тоді для певних пар квадратів можна зробити висновок, що всі точки з одного квадрата далекі від

ніж усі точки з іншого квадрата. На практиці це могло б допомогти, я думаю.

x

$x$

— ilyaraz

"Немозковий підхід", про який ви заявили, працює за O (n log n) час, де n - кількість балів у S, що, напевно, є досить швидким на практиці. Ви хочете відхилити коефіцієнт журналу n чи вам потрібно щось інше, наприклад, зовнішнє сортування ?

— Tsuyoshi Ito

Справа в тому, що у мене практично необмежений час для підготовки моєї сукупності балів, але час на їх сортування дуже обмежений. Однак, оцінюється будь-яке прискорення стандартного сортування - навіть якщо воно є тим самим O (n log n), але швидше в гіршому (або кращому випадку, або будь-якому іншому).

— Алекс К.

Наприклад, якщо я зберігаю S як 2-d-дерево, я можу знайти одного найближчого сусіда за час O (log n). Можливо, є подібне рішення для мого завдання. Я не великий експерт у структурі просторових даних - і їх так багато - я міг легко пропустити це.

— Алекс К.

Відповіді:

Розв’язання 1: Знайдіть перпендикулярні бісектриси між парами точок і побудуйте розташування цих прямих. У розташуванні є комірок, усередині яких відсортований порядок є постійним. Отже, побудуйте структуру даних про розташування точок для розташування та прикрасьте кожну комірку відсортованим порядком, який потрібно повернути для точок у цій комірці. Відсортовані порядки між сусідніми клітинками відрізняються лише одним транспозицією, тому ви можете використовувати стійку структуру даних, щоб дозволити представленням цих відсортованих порядків ділити простір. Загальний простір - а час запиту - $\Theta(n^2)$ $\Theta(n^4)$ $O(n^4)$ . $O(\log n)$

Рішення 2: Виберіть випадковий зразок цих самих перпендикулярних бісектрис, побудуйте їх розташування та розділіть кожну комірку розташування по вертикальних відрізках ліній через кожне перетинання двох вибіркових ліній. Отриманий розділ має комірок, кожна з яких з великою часткою ймовірності перетинається через без вибірки бісектриси. Прикрасьте кожну комірку розділу за допомогою дійсного упорядкованого упорядкування точок, переглянутих із деякого x у комірці. Загальний простір дорівнює . $\Theta(n)$ $\Theta(n^2)$ $O(n)$ $O(n^3)$

Тепер, щоб зробити запит, знайдіть точку запиту в розділі, знайдіть впорядкованість, що зберігається в комірці розділу, та використовуйте алгоритм сортування декартового дерева порівняння Levcopoulos & Petersson (1989), починаючи з цього збереженого замовлення. Час для цього кроку пропорційне де - кількість точок, які не відповідають порядку з точкою . Але - (кожен нерозбірний бісектриса викликає щонайменше одну пару точок поза порядком), тому час запиту $\sum_i O(1+\log k_i)$ $k_i$ $y_i$ $\sum k_i$ $O(n)$ також є . $\sum_i O(1+\log k_i)$ $O(n)$

— Девід Еппштейн
джерело

PS ось альтернативний варіант рішення 2, який використовує той самий простір та час запиту, але торгує складнішим алгоритмом попередньої обробки для більш простого алгоритму запиту: 11011110.livejournal.com/233793.html

— Девід

Чому

попередня обробка, коли ви могли сортувати з усіх

вихідних точок за час

та зберігати результати у хеш-таблиці, використовуючи простір

для постійного пошуку?

n^{4}

$n^4$

n

$n$

O (n^{2} \log n)

$O(n^2\log n)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Дейв

Оскільки є

вихідні точки з різними порядками сортування, а не

Θ (n^{4})

$\Theta(n^4)$

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$

— Девід Еппштейн

Ви, мабуть, не зможете піти з часу будь-яким способом, коли ви його нарізаєте; Навіть попередньо обчислювальні регіони, відповідні всім можливим замовленням на сортування, можуть (я вважаю) дають регіони, і таким чином пошук "вашого" регіону будь-якою значущою технікою пошуку займе час. ( EDIT: $n\log(n)$ $O(n!)$ $O(\log(n!)) = O(n\log(n))$ це абсолютно неправильно; див. відмінну відповідь Девіда Еппштейна для отримання додаткової інформації!) Один корисний спосіб зменшити складність, з іншого боку - особливо якщо вам не потрібен повний сорт одразу, а просто потрібно мати можливість випадковим чином витягнути -найближче на льоту - може бути через більш високого порядку діаграм Вороного: розширення стандартної комірки Вороного , що вмістити не тільки найближчий сусід , але другий найближчими, папір і т.д. Франк Dehne на к-найближчих сусідів пошуку, HTTP: //people.scs .carleton.ca / ~ dehne / публікації / 2-02.pdf, здається, є канонічним посиланням; його домашня сторінка за адресою http://www.dehne.carleton.ca/publications містить ряд інших робіт про діаграми Вороного, які можуть бути корисними. $k$

— Стівен Стадницький
джерело

Якщо розділити площину на регіони з різними порядками сортування, є

регіони, а не

. Межі між областями - це перпендикулярні бісектрисні лінії пар точок, є

таких прямих, а набір областей задається розташуванням цих прямих.

Θ (n^{4})

$\Theta(n^4)$

O (n!)

$O(n!)$

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$

— Девід Еппштейн

@David Я думаю, що ти повинен відповісти на це.

— Джеймс Кінг

Відряджений - п! почував себе неправильно, коли я писав це, але я не міг побачити справи проти. Я скоро допомню свою відповідь, щоб виправити це, але дуже хотів би побачити більш прямоінформовану; Дякую!

— Стівен Стадницький