Яке найкраще наближення для голосування більшості?


18

Операція з більшістю голосів виникає досить часто при відмовостійкості (і, без сумніву, в інших місцях), де функція виводить трохи рівне тому, що коли-небудь значення з’являється найчастіше у значенні вхідних бітів. Для простоти припустимо, що коли вхід містить рівну кількість бітів у стані 0 та стані 1, він виводить 0.

Це можна узагальнити до знаків, де існує більше 2 можливостей для кожного введення, повертаючи значення, яке найчастіше трапляється на вході, і у випадку зв'язання, повертаючи найчастіше значення, яке приходить спочатку лексикографічно. Назвемо цю функцію "множинністю голосування".

Мене цікавить вихід такої функції, коли кожен вхід має фіксований розподіл ймовірностей (і розподіл однаковий для кожного dit на вході). Конкретно мене хвилює наступне питання.

Враховуючи множину , якщо множина незалежно вибірково відбирається разів, з ймовірністю кожного разу вибирати елемент для фіксованого вибору з , що є ймовірність того, що безліч голосів цих виходів ?N p i i t h S v S vS={S1,S2,...,Sн}NpiiтгодSvSv

Тепер прямо розраховувати точну відповідь на вищезазначене питання можна як суму за мультиноміальними розподілами. Однак для моїх цілей це менше, ніж ідеально, і закрите для наближення було б краще. Отже, моє запитання:

Яке наближення закритої форми до вищевказаної ймовірності найтісніше обмежене на максимальній відстані від точного значення?


Я не знаю, але я б запропонував пошукову фразу, "консенсус теорії управління" або "проблема консенсусу теорії управління". Це інша проблема, ніж проблема консенсусу розподілених обчислень, і може бути те, що вам потрібно.
Аарон Стерлінг

Ви шукаєте наближення, яке добре працює, коли N велике порівняно з n? Якщо це так, правило розриву краватки має бути неактуальним.
Цуйоші Іто

@TsuyoshiIto: Так, я і справді це правило не має значення, але я хотів переконатися, що питання було добре поставлене. Мені дуже не байдуже, як розриваються зв’язки, оскільки легко розв'язати цю неуважність.
Joe Fitzsimons

1
Ну, ось зворотна оцінка конверта ... Нехай - це кількість разів, коли ви вибираєте набір . Це біноміальна змінна. Притворіться, що вони незалежні. Тепер для фіксованого значення можна обчислити ймовірність отримання цього значення , а для цього значення обчислити ймовірність того, що воно виграє над усіма іншими змінними. Це повинно дати досить хороші межі щодо ймовірності. Вони, звичайно, не найтісніші - чим більше залежностей ви готові врахувати, тим точнішою буде ваша оцінка, але чим більше обчислень вам доведеться робити. S i Y v Y vYiSiYvYv
Саріель Хар-Пелед

Відповіді:


1

Якщо для всіх , то i vpv>piiv

Пr[результат відрізняється від v]хвТ(Пr[Б(N,pv)Т]+Пr[ivБ(N,pi)Т]),

де - біноміальний розподіл, а - довільний поріг. Підключивши та використовуючи межі цю ймовірність як .Б(н,p)ТТ=N(pv+максivpv)/2е-Ω(N)

Звичайно, якщо не максимум, то ви отримуєте протилежну картину. З переважною ймовірністю не є результатом.pvv


1
Дякую, що подумав про проблему, але це не те, що я шукаю. Це не закрита форма. Мені потрібно було б підсумувати необмежену кількість експонентів. Я вже знаю, як написати точне рішення, і я знаю багато наближень для окремих термінів, але це не те, що я хочу. Я шукаю наближення закритої форми до рішення, а не до окремих термінів. Мені також потрібна гідна прив'язка до помилки.
Joe Fitzsimons

1
Ви можете отримати закриту форму, використовуючи той самий метод (якщо ви задоволені додатковим фактором ). І щоб зв'язати помилку, ви можете використовувати теорему Беррі-Езена замість Черноффа. н
ilyaraz

@ilyaraz Я намагаюся зрозуміти ваше перше невдоволення. Чи можете ви мені краще пояснити, чому це справедливо? Я думаю, що ти якось використовував союз, але я не можу зрозуміти. Дякую :)
AntonioFa
Використовуючи наш веб-сайт, ви визнаєте, що прочитали та зрозуміли наші Політику щодо файлів cookie та Політику конфіденційності.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.