Повсякденні тури навколо доказів

Сьогодні Райан Вільямс опублікував статтю про arXiv (раніше з'являвся в SIGACT News), що містить менш технічну версію його недавньої методики нижньої межі ACC .

Моє запитання не про саму техніку (звичайно, гідну величезної похвали), а про стиль статті. У рефераті він пише:

Доказ буде описано з точки зору того, хто намагається його виявити.

Дивовижно! У розділі Фон він додає:

Ця стаття - це дискусія про те, як знайти доказ - випадковий тур навколо нього. Дано не всі подробиці, але ви побачите, звідки взялися всі п'єси та як вони разом. Шлях буде пронизаний моєю власною упередженою інтуїцією щодо теорії складності - що, на мою думку, повинно бути, а що не повинно бути правдою, і чому. Значна частина цієї інтуїції цілком може помилятися; проте я можу сказати, що це привело мене в продуктивному напрямку хоча б з одного приводу.

Це дивовижно, і це я вперше побачив. Мені завжди було цікаво, чому автори статті не пишуть, як вони дійшли до доказів, включаючи невдалі підходи, які вони намагалися, перш ніж потрапити на трек, який привів до рішення. Коли я побачив папір Райана на arXiv, я почув себе дуже вмотивованим прочитати його. Я вважаю це революційним документом з цієї точки зору. У більшості випадків єдине, що ви можете зробити з папером, - це перевірити його правильність.

Питання таке:

• чи знаєте ви про інші статті в TCS, де результат прориву представлений у "випадковому турі", а не в серії технічних лем?

Я говорю про публікації в журналах, а не публікації в блогах чи технічні звіти.

Крім того, я позначив це як великий список , маючи надію, що він буде насправді.

Існує документ (2001) подібного стилю Лова Гровера, який описує шлях до його проривного алгоритму квантового пошуку (1996).

Тім Гоуерс - шанувальник подібних речей. Дивіться конкретно його виклад методу наближення Разборова .

У своєму вступі Говерс посилається на мою викладацьку статтю про примушування , що є (не зовсім вдалою) спробою зробити те ж саме для форсування. Примушування зазвичай розглядається як техніка в логіці та теорії множин, але вона періодично знаходила свій шлях у TCS. Це випливає з вивчення обмеженої арифметики та складності доказів доказів (Крайчек і Такеуті - два дослідники, які досягли цього зв'язку), а поняття родового оракула пов'язане з поняттям родового фільтра.

(Це почалося як коментар і занадто довго пройшло шлях).

Вам може сподобатися стаття Вільяма Торстона « Про доказ і прогрес у математиці» .

Математика в деякому сенсі має загальну мову: мову символів, технічних визначень, обчислень та логіки. Ця мова ефективно передає деякі, але не всі способи математичного мислення. Математики вчаться майже несвідомо перекладати певні речі з одного психічного режиму в інший, щоб деякі твердження швидко стали зрозумілими. [...]

Люди, знайомі з способами здійснення речей у підполі, розпізнають різні зразки висловлювань чи формул як ідіоми чи циркуляцію певних понять чи ментальних образів. Але люди, які вже не знайомі з тим, що відбувається за тими ж візерунками, не дуже освітлюють; вони часто навіть вводять в оману. Мова не живе, окрім тих, хто нею користується. [...]

Ми, математики, повинні докладати набагато більше зусиль для передачі математичних ідей. Для цього нам потрібно приділяти набагато більше уваги спілкуванню не лише наших визначень, теорем і доказів, а й наших способів мислення. Нам потрібно оцінити значення різних способів мислення про одну і ту ж математичну структуру. Нам потрібно зосередити більше енергії на розумінні та поясненні основної розумової інфраструктури математики, а отже, менше енергії на останні результати. Це тягне за собою розробку математичної мови, ефективної для радикальної мети передачі ідей людям, які їх уже не знають.

Щодо початкового запитання, є документи, які не представляють ідеї у форматі Definition-Theorem-Proof (DTP). У Тімоті Чоу є декілька робіт, присвячених комунікації ідей (хоча вони не є першими (або другими) статтями з теми / результату).

1. Ви могли б винайти спектральні послідовності , Тімоті Чоу, Повідомлення AMS
2. Примушуючи до манекенів , Тімоті Чоу

Однією з можливих причин поширеності формату DTP є те, що ми всі просто звикли до нього з книг і паперів. Рецензенти (і читачі) іноді вважають нестандартним стиль письма відволікаючим. Середнє місце - це документи, які м'яко розбивають читача на результат. Є документи, які представляють окремий випадок або просту проблему, що ілюструє загальну ідею.

1. Топологічна структура асинхронної обчислюваності , Моріс Ерліхі та Нір Шавіт. У роботі є багато ілюстрацій та продемонстровано загальну ідею простого протоколу перед застосуванням основної теореми для вирішення деяких відкритих проблем.
2. $p$

Жодне обговорення нестандартного викладу чудових ідей не було б повним, не згадуючи роботи Жана-Іва Жирара . Унікальний - це, мабуть, найкраще слово для його опису (не будучи дипломатичним чи саркастичним). З, паперова лінійна логіка .

Філософська екзегеза правил Хейтінга фактично залишає дуже мало місця для подальшого обговорення інтуїтивістського обчислення; але хтось серйозно намагався? Насправді до лінійної логіки, яка є чітким і чистим розширенням звичайної логіки, можна досягти шляхом більш чіткого аналізу семантики доказів (не дуже далекий від підходу до інформатики і, таким чином, перехід до наступного розділу), або певними більш-менш безпосередніми міркуваннями щодо послідовного обчислення. Ці міркування мають безпосереднє геометричне значення, але для того, щоб їх зрозуміти, треба забути про наміри, пам’ятаючи, з китайським лідером, що значення має не колір кота, а те, що він ловить мишей.

Пізніше:

Ще є люди, які говорять, що для того, щоб зробити інформатику, по суті потрібен паяльник; такої думки поділяють логіки, що зневажають інформатику, та інженери, які зневажають теоретиків. Однак в останні роки потреба в логічному вивченні програмування стає все чіткішою і зрозумілішою, і зв'язок логіки-комп’ютерної науки видається незворотним. [...]
У певному сенсі логіка відіграє таку ж роль, як і фізика геометрії wrt: геометрична рамка накладає певні результати збереження, наприклад, формула Стокса. Симетрії логіки, ймовірно, виражають глибоке збереження інформації, у формі, яка ще не була правильно осмислена.

Можливо, автори не включають ці невдалі спроби та історію дослідження у своїх опублікованих працях через обмеження, накладені редакторами та членами ПК. Я думаю, що журнал (і, мабуть, ще незвичніше для конференції) дуже незвично приймає документ, де основна його частина присвячена невдалим спробам. Але в більшості випадків, якщо ви розмовляєте з авторами чи експертами в цій галузі, вони пояснять історію та невдалі спроби (і багато хто розповідає про це на семінарах).

Я бачив декількох авторів, які в оренді пояснюють, звідки ідеї взялися в їхніх роботах. Як приклад, у своїй роботі Гірард пояснює, що ідея для лінійної логіки виникла із спроби знайти денотаційну семантику для інтуїтивістської АБО. Ви можете знайти таку інформацію також в монографіях і біографії відомих дослідників і томів , присвячених їм ( Пол Річард Халмош автобіографія «s і більш пізні" Kreiseliana: О і навколо Георга Крайзель " під редакцією Odifreddi прийшло в голову, є також обсяги і статті присвячений деяким теоретикам складності). Сподіваємось, більше людей зроблять те, що зробив Райан, і систематично пояснюватимуть процес і розповідатимуть історію.

ps: ви можете вважати це як усну традицію дослідження :) (дещо схожа на усну тору, яку не дозволяли записувати ).

Існує опублікований документ Ласло Бабая (1990) у формі байки про Артура та Мерліна, в якій описується драматична послідовність подій, що призводять громаду до результату IP = PSPACE у 1989 році, що було дуже неймовірним лише роком раніше.