Обчислювальні відстані із наближенням менше 2 у загальних графіках?

З огляду на зважений непрямий графік з ребрами $m = o(n^2)$ , я хотів би обчислити відстані наближення, менші ніж 2, між будь-якою парою вершин. Звичайно, я хотів би використовувати підквадратичний простір та підлінійний час запиту.

Мені відомо про результат Цвіка, який використовує матричне множення, але мені цікаво, чи знають якісь комбінаторні алгоритми для цієї проблеми?

ds.algorithms graph-algorithms

— Сіддхартха
джерело

Привіт @Siddhartha, вибачте, якщо це нерозумне питання: результат Zwick, здається, використовує квадратичний простір, чи правильно це?

— Hsien-Chih Chang 張顯之

Також, чи допускається помилка присадки?

— Hsien-Chih Chang 張顯之

@ Hsien-ChihChang 張顯之 - Мене цікавили результати лише з мультиплікативного наближення. Випадок адитивного наближення може бути цікавим сам по собі - легше для щільних графіків, я думаю. Можна використовувати гайковий ключ і отримати додаткове наближення для досить щільних графіків. Для розріджених графіків, наскільки я знаю, гайкові ключі не допомогли б.

— Сіддхартха

G

$G$

n

$n$

m

$m$

1

$1$

2

$2$

Ω (m)

$\Omega(m)$

\log_{2} (\binom{N}{m})

$\log_2 \binom{N}{m}$

N = (\binom{n}{2})

$N=\binom{n}{2}$

\geq m \log_{2} (N / m)

$\geq m \log_2 (N/m)$

Спасибі Саріель - можливо, вийде нижня межа але я з цим добре. Я б хотів мати лише підквадратичний простір та підлінійний час запиту. Для графів з ребрами нижня межа нічого не говорить про проблему - це правильно?

Ω (m)

$\Omega(m)$

m = o (n^{2})

$m = o(n^2)$

Ω (m)

$\Omega(m)$

— Сіддхартха

Відповіді:

Наскільки мені відомо, немає жодного опублікованого результату обчислення відстаней наближення менше 2 у підквадратичному просторі та підлінійному часі запиту. Для швидкого отримання приблизних відстаней, ви можете переглянути результати та посилання у "Швидші алгоритми для парних приблизних найкоротших шляхів" Baswana та Kavitha (журнальна версія їх документа FOCS має хороший огляд пов'язаної роботи); жодне з них не досягає підквадратичного простору.

Для компактного отримання приблизних відстаней, ви можете переглянути результати та посилання у вищезгаданих двох роботах. [Як додаток до відповіді Габора, слово обережності: будьте обережні щодо поняття рідкості у наведених вище роботах - для наближення графік, як кажуть, є рідким, якщо , як ви напевно, вже знаю]. $2$ $m = o(n^2)$

Як вказував Саріель в одному з коментарів вище, природна нижня межа простору для обчислення відстаней наближення менше - , тобто лінійна за розміром графіка. Якщо час запиту не обмежений, цю нижню межу неможливо покращити (тривіально, можна використовувати алгоритм найкоротшого шляху, просто зберігаючи графік). Для постійного часу запиту я знаю два нижні межі. По-перше, у Патраску та Роддіті були деякі умовні нижчі межі в роботі FOCS 2010, які застосовуються для наближення менше . По-друге, Соммер та ін. ін. мали деякі нижчі межі для надзвичайно рідких графіків. Я не знаю жодних інших (нетривіальних) нижчих меж. $2$ $\Omega(m)$ $2$

Що стосується верхніх меж, то, здається, результати вищезгаданих робіт, схоже, не узагальнюють наближення менше . Нещодавно ми досягли певного прогресу в цій проблемі. Папір має з’явитися незабаром на ArXiv, але якщо вам подобається, надішліть мені електронний лист, і я з радістю поділюсь документом. $2$

Сподіваюсь, це допомагає.

~ Рахіт Агарвал

— Рахіт
джерело

Можливо, вас зацікавить документ INFOCOM Рахіта Агарваля 2011 року:

Rachit Agarwal, P. Brighten Godfrey, Sariel Har-Peled Приблизні відстані запитів та компактні маршрутизації у розряджених графіках, IEEE INFOCOM 2011

З реферату:

[Для] графіку із середнім ступенем , спеціальні випадки наших структур даних витягують 2 шляху з простором [...] за ціною час запиту. $\Theta(\log n)$ $O(n^{3/2})$ $O(\sqrt{n})$

Зауважимо, що оракул їх відстані призначений лише для розріджених графіків, але пов'язаний логарифмічний ступінь здається правдоподібним. Доданий бонус, алгоритм також працює для зважених графіків.

— Габор Ретвари
джерело

Ви також можете поглянути

Pătraşcu, Roditty, Відстань оракул за межею Торпупа - Зв’язаний Цвік , FOCS 2010

Вони мають дистанційний оракул розміром з розтяжкою 2. Він підтримує запити в постійний час. $O(n^{5/3})$

— зотахідил
джерело

Дякую! Папір з Agrawal та Mihai, здається, не говорить нічого про наближення "менше" 2, якщо я щось не пропустив.

— Сіддхартха

Це не так, але це може дати вам уявлення про те, як отримати компроміс, щоб поліпшити розтягнення.

— zotachidil