Набір прикладів з формальної теорії мови

Я вивчаю алгебраїчну теорію розбору. Моя перша проблема - визначення прикладів семірінгу, специфічних для формальної теорії мови. Ось спроба побудувати два приклади.

1 Враховуючи граматику CNF, елементами семірінгу є набори термінальних та нетермінальних символів з операціями:

i) Множення , з'єднання двох множин у парі згідно з правилом CYK. Наприклад, дані граматики CNF

s: p p | q r
t: p q
u: q q

тоді

$\{p,q,r\}\otimes \{p,r\} = \{s,t\}$

ii) доповненням встановлюється союз, наприклад

$\{p,q\}\oplus \{q,r\} = \{p,q,r\}$

На жаль, множення не асоціативне.

2 Елементи другого семірування - це набори не символів, а граматичних правил (не обов'язково в CNF), доповнених позицією. Операції є

i) Множення , з'єднання всіх збігаються пар елементів за повним правилом Ерлі. Наприклад, дані граматики CNF

s: p q r 
r: s t | u

тоді

$\{s: p \bullet q r,s: p q \bullet r\}\otimes \{r: u \bullet \} = \{s: p q r \bullet \}$

ii) доповненням знову є встановлений об'єднання, наприклад

$\{s: p \bullet q r, r: \bullet s t\}\oplus \{r: u \bullet \} = \{s: p \bullet q r, r: \bullet s t, r: u \bullet\}$

Цей приклад також є недостатнім.

Семіринг з елементами, що складаються з наборів граматичних правил, а множення, що є заміною правил, здається, працює добре. Але це лише відношення алгебри у маскуванні. Дійсно, дозвольте розглядати кожне правило граматики як клас еквівалентності - набір пар слів, що складаються з кінцевих та нетермінальних літер, пов'язаних із застосуванням правила, наприклад

$[t : s a] = \{ (t,sa),(ta,saa),(bt,bsa),(abt,absa),... \}$

Then, recognition of a word in a grammar is a chain of relational compositions, e.g.

$[t:sa] \otimes [s:aa] \otimes \{(aaa,aaa)\} = \{(t,aaa)\}$

(This monomial is reminiscent of semiring parser polynomial from Josh Goodman PhD thesis; however, let reiterate that constructing new semirings by taking polynomials and matrices is not of our interest here).

So, the question remains: is the semiring of formal languages over alphabet $\Sigma$ the only example?

There are plenty of semirings related to language theory. First of all, the Boolean semiring. Next any class of languages closed under finite union and (concatenation) product is a subsemiring of the semiring of all languages. For instance the rational (= regular) languages form a semiring. See also the related notion of Kleene algebra.

The $k \times k$ matrices over a semiring do form a semiring. In particular, matrices over the Boolean semiring encode nondeterministic finite automata and matrices over the slightly larger semiring $\{-\infty, 0, 1\}$ encode transitions of a Büchi automaton. Matrices over a semiring are used to characterize rational series.

The tropical semirings, in particular $(\mathbb{N} \cup \{+\infty\}, \min, +)$ and $(\mathbb{N} \cup \{-\infty\}, \max, +)$ play a proeminent role in automata theory. They also led to a new branch of mathematics, the tropical geometry.

Fun with Semirings: A functional pearl on the abuse of linear algebra

Efficent Divide and Conquer parsing of context free languages

I think you can come up with more semi-rings with Earley rules. Take Prediction. You can form the binary operator $S\otimes_{p,k} T = S \cup \bigcup (Y: \bullet \gamma$, k)$ such that the union is over all the relevantly existing rules. Then the algorithm first calculates the first Earley state set as an infinite but eventually repeating (so finite) product in the operator:

$S(0) = \bigotimes_{p,0}^{\infty} S_0(0)$. I don't know if this forms a semi-ring with union though. Maybe it forms relationships with other operations as well.