Знаходження міні-макс-роз'єднаних вершинних контурів із загальним джерелом на плоских графах

Давши плоский невагомий графік і колекцію вершинних пар ( - константа), знайдіть вершинно-роз'єднаних (крім джерела) шляхів від до таких що довжина найдовшого шляху зменшена до мінімуму. $(s,t_1),\dots,(s,t_k)$ $k\ge2$ $k$ $s$ $t_i$

Запитання: Чи існує алгоритм поліноміального часу для задачі?

Деякі пов'язані результати:

якщо не виправлено, проблема є NP-жорсткою, навіть якщо ; $k$ $t_1=\dots=t_k$
якщо вхідний графік зважений і джерела шляхів не збігаються, тобто шляхи проблема є NP-жорсткою навіть для ; $(s_1,t_1),\dots,(s_k,t_k)$ $k=2$
проблема з різною метою, а саме мінімізація суми довжин шляху
- вирішується з алгоритмом витрати мінімальних витрат на збігаються джерела;
- NP-важкий для не збігаються джерел і загального ; $k$
- відкритий для не збігаються джерел і постійний . $k$

ds.algorithms graph-algorithms

— Сергій Пупирев
джерело

Схоже, є багато пов'язаних результатів. Чи можете ви узагальнити важливі пов'язані результати у питанні?

— Цуйосі Іто

Чи зважений графік введення G (тобто кожне ребро має цілочисельну довжину)? Я припускав, що G не зважений, але я зрозумів, що ви, ймовірно, змішуєте два параметри: (1) Якщо G зважений, то випадок k = 2 є повна NP по теоремі 14 у статті Кобаяші та Соммер, з якими ви пов’язані, що також по суті те саме, що і в останньому абзаці розділу 2 [HP02], цитованому у моїй відповіді. (2) Якщо G не зважений, то я не можу зрозуміти, чому папір Кобаяші та Соммера передбачає твердість NP у випадку k = 2 та різних джерел.

— Tsuyoshi Ito

У моїх налаштуваннях графік не зважений, тому ви маєте рацію: моє твердження про твердість NP у випадку K = 2 та різних джерел є (ймовірно) помилковим.

— Сергій Пупирев

Я оновив заяву про проблему, враховуючи коментар Цуйосі Іто.

— Сергій Пупирев

Це не зовсім те, про що ви запитували, але проблема є NP-повною, якщо k - не константа, а частина вводу.

Це випливає із доказу теореми 1 у ван дер Хольста та де Піна [HP02], де сказано: з огляду на планарний графік G , чіткі вершини s і t у G та додатні цілі числа k і b , рішення NP не є повним. чи є k попарно внутрішньо вершинно-роз'єднані шляхи між s та t довжиною не більше b .

Зауважте, що проблема у твердженні теореми 1 у двох аспектах відрізняється від вашої. Як я вже згадував, одна різниця полягає в тому, що k задається як частина вхідних даних. Інша полягає в тому, що проблема в [HP02] полягає в шляхах із загальними кінцевими точками замість шляхів із загальним джерелом та різними потоками. Я не знаю, як виправити першу різницю; різниця настільки велика, що, ймовірно, нам знадобиться зовсім інший доказ, щоб виправити k . Але я знаю принаймні, як виправити другу різницю.

Доведення теореми 1 у [HP02] дає зменшення від 3SAT. Це зменшення має таку властивість: у випадку ( G , s , t , k , b ), побудованому скороченням, ступінь вершини t завжди дорівнює k . Нехай t ₁ ,…, t _k - k сусіди t . Тоді замість того, щоб запитувати, чи існують k попарно внутрішньо-вершино-роз'єднані шляхи між s та t довжиною не більше b, ми можемо однаково запитати, чи існують парні шляхи вершина-роз'єднання, крім джерела P ₁ ,…, P _k такі, що кожен P _i - шлях між s та t _i довжиною не більше b −1.

[HP02] Х. ван дер Холст і Ж. де Піна. Обмежені довжиною непересічні контури в плоских графіках. Дискретна прикладна математика , 120 (1–3): 251–261, серпень 2002 р. Http://dx.doi.org/10.1016/S0166-218X%2801%2900294-3

— Цуйосі Іто
джерело

Я не бачу великої різниці між вашими налаштуваннями (коли вказано у вводі) та моїми оригінальними налаштуваннями (коли вказано вершинних пар). Проблема із загальним джерелом та різними мийками виглядає «важче», ніж проблема з тим же джерелом та мийкою.

k

$k$

k

$k$

— Сергій Пупирев

@SergeyPupyrev: Ви писали, що k - константа. (Ви написали це, тому що ви знали, що це означає, чи не так?) З того, що я дізнався з короткого погляду на відповідні документи, чи k є постійною чи ні в пов'язаних з цим проблемах, здається, має величезну різницю в поточному статусі складність проблеми.

— Цуйосі Іто

Дозвольте мені уточнити: ваша відповідь показує, що якщо не виправлено, то моя первісна проблема є NP-жорсткою; інакше, якщо - константа, то її складність невідома, правда?

k

$k$

k

$k$

— Сергій Пупирев

@SergeyPupyrev: Я не можу знайти папір, в якій зазначається складність у випадку, коли k є постійною, але це означає лише, що вона мені невідома .

— Цуйосі Іто