Найкращий спосіб визначити мінімальний розмір структури з урахуванням лише відстаней між точками

Я зіткнувся з цією проблемою в області фізики, досить віддаленій від інформатики, але, схоже, тип запитання, який вивчався в КС, тому я подумав, що спробую пощастило задати його тут.

Уявіть, що вам надається набір точок та перелік деяких відстаней між точками . Який найефективніший спосіб визначити мінімальну розмірність простору, в який потрібно вбудувати ці точки? Іншими словами, що найменший такий, що існує набір точок в задовольняють обмеження відстані . Я був би однаково задоволений відповіддю на , але це здається складніше. d i j k R k d i j C$\{v_i\}_{i=1}^n$$d_{ij}$$k$$\mathbb{R}^k$$d_{ij}$$\mathbb{C}^k$

Я радий сказати, що відстані повинні відповідати лише в межах деякої постійної точності і обмежувати точки на точках на якійсь решітці постійного проміжку, щоб уникнути проблем обчислень з числами.$d_{ij}$$\epsilon$

Дійсно, я був би дуже задоволений рішенням версії рішення цієї проблеми, де задано і вас запитують, чи існує такий набір вершин . Тривіально проблема полягає в NP, оскільки, задавши набір точок в , легко перевірити, чи відповідають вони вимогам відстані, але відчувається, що для цієї конкретної проблеми повинні існувати субекспоненціальні алгоритми часу. k { v i } R$d_{ij}$$k$$\{v_i\}$$\mathbb{R}^k$

Найбільш очевидним підходом є спроба побудувати -вимірні структури ітеративно, додаючи по черзі додаткові точки та визначаючи, чи потрібно додавати новий просторовий вимір при кожній ітерації. Проблема в цьому полягає в тому, що, здається, ви можете зіткнутися з двозначностями, коли існує кілька способів додати крапку до існуючої структури, і не ясно, який з них призведе до менших розмірів, оскільки ви продовжуватимете додавати більше балів.$k$

Нарешті, дозвольте сказати, що я знаю, що легко створювати списки відстаней, які неможливо виконати в будь-якій кількості вимірів (тобто таких, що порушують нерівність трикутника). Однак для тих випадків, які мене цікавлять, завжди знайдеться мінімальна кінцева кількість розмірів, в яких можна знайти задовольняючий набір точок.

Цю проблему іноді називають завершенням матриці відстань малого розміру Евкліда або низькомірним евклідовим вбудовуванням зваженого графіка.

Saxe [Sax79] та Yemini [Yem79] незалежно показали простим скороченням від проблеми розділу, що ця проблема є NP-повною навіть у випадку одного виміру; тобто наступна проблема є NP-повною для k = 1:

k -вимірне завершення матриці евклідової відстані / k -вимірне евклідове вбудовування зваженого графіка
Екземпляр : Симетрична матриця M , записи якої є або позитивними цілими числами у двійковій чи “невідомій”.
Запитання : Чиможна заповнитиневідомі записи в M реальними числами, щоб M стала матрицею відстані точок у k -вимірному евклідовому просторі ℝ ^k ?
Еквівалентно,
Екземпляр : Графік G, де кожне ребро має додатну цілу вагу, записане у двійковій формі.
Питання : Чи можуть вершини G розміщуватись уk -вимірний евклідовий простір ℝ ^k так, що для кожного краю G відстань між двома кінцевими точками дорівнює вазі ребра?

Більше того, Saxe [Sax79] показав (більш причетним скороченням від 3SAT), що завершення k -вимірної евклідової матриці відстані залишається NP-жорстким навіть при обмеженні того, що всі відомі записи в M або 1, або 2, для кожної позитивної цілої постійної к . Зокрема, проблема є NP-повною навіть тоді, коли відомі записи в M наведені одинаково. [Sax79] також містить деякі результати твердості щодо приблизного вбудовування.

До речі, я не думаю, що тривіально, що проблема полягає в НП; зауважте, що вам потрібні ірраціональні координати в деяких випадках, коли k > 1. Я не знаю, чи відомо, що в НП.

Список літератури

[Sax79] Джеймс Б. Сакс. Вбудованість зважених графіків у k -простір сильно важко. У працях 17-ї Альлертонської конференції з питань комунікацій, управління та обчислень , стор. 480–489, 1979 р. Також у «Джеймс Б. Сакс»: дві статті про проблеми вбудовування графів , кафедра комп’ютерних наук, університет Карнегі-Меллона, 1980.

[Yem79] Єхіам Єміні. Деякі теоретичні аспекти проблем позиціонування. У 20-му щорічному симпозіумі з основ інформатики (FOCS) , стор. 1–8, жовтень 1979 р. DOI: 10.1109 / SFCS.1979.39

Враховуючи фіксовану , існує точна характеристика матриць відстані, які представляють відстані між точками в розмірах. Це випливає з теореми Шенберга і пов'язує ядра в ML та відстані негативного типу . Ця характеристика може бути перевірена в поліноміальний час (вона включає обчислення рангів і тестування на негативну визначеність). Я вважаю, що з цього також випливає, що якщо є вбудовування в евклідовий простір, це вбудовування буде мати не більше вимірів.n d $d$$n$$d$$n$