Алгоритми відновлення SERF та скорочення субекспоненціалу

У мене виникає питання щодо скорочуваності SERF Імпальязцо, Патурі та Зена та субекспоненціальних алгоритмів. Визначення відновлення SERF дає наступне:

Якщо зведений до до і існує алгоритм для для кожного , то існує алгоритм для для кожного . (Параметр твердості для обох задач позначається .) $P_1$ $P_2$ $O(2^{\varepsilon n})$ $P_2$ $\varepsilon > 0$ $O(2^{\varepsilon n})$ $P_1$ $\varepsilon > 0$ $n$

Деякі джерела, мабуть, випливають із того, що має місце також таке:

Якщо може бути зведений до і існує алгоритм для , то існує алгоритм для . $P_1$ $P_2$ $O(2^{o(n)})$ $A_2$ $O(2^{o(n)})$ $P_1$

Моє запитання: чи є ця остання заява насправді справді, і якщо вона є, чи є десь написання доказу?

Як тло, я намагався зрозуміти область навколо гіпотези експоненціального часу. IPZ визначають субекспоненціальні задачі як такі, що мають алгоритм для кожного , але цього, мабуть, недостатньо з огляду на поточні знання, щоб мати на увазі наявність субекспоненціального алгоритму для задачі . Такий же розрив, здається, присутній у скорочуваності СЕРФ, але я частково очікую, що я щось тут пропускаю ... $O(2^{\varepsilon n})$ $\varepsilon > 0$

cc.complexity-theory reference-request

— Янна Х. Корхонен
джерело

EDIT: Як вказував Райан у коментарях, проблема може мати неоднорідний алгоритм із часом роботи для будь-якої постійної (алгоритм має доступ до ), але немає рівномірної форми алгоритм часу. $O(2^{\epsilon n})$ $\epsilon > 0$ $\epsilon$ $2^{o(n)}$

Оскільки скорочення SERF - це сімейство скорочень Тьюрінга, по одному для кожного , то я роблю висновок, що вони можуть бути використані лише для отримання алгоритмів часу з або алгоритми часу. $\epsilon>0$ $O(2^{\epsilon n})$ $O(2^{\epsilon n})$ $2^{o(n)}$

Наступна теорема доведена Chen et al. [2009] .

Теорема 2.4 . Нехай - не зменшувана і необмежена функція, а - задана параметризована задача. Тоді такі твердження еквівалентні: (1) можна вирішити за час для будь-якої константи , де - многочлен; (2) можна вирішити в часі , де - многочлен. $f(k)$ $Q$
$Q$ $O(2^{\delta f(k)}p(n))$ $\delta > 0$ $p$
$Q$ $2^{o(f(k))} q(n)$ $q$

Беручи ми отримуємо, що в задачі є алгоритм часу для кожного якщо і тільки якщо він має алгоритм часу . $f(k)=n$ $O(2^{\epsilon n})$ $\epsilon>0$ $2^{o(n)}$

Про це згадується у статті Chen et al. що цей еквівалент раніше використовувався інтуїтивно, але це викликало певну плутанину серед дослідників.

— Серж Гасперс
джерело

Лише зауваження: є деякі інші умови, які потрібно взяти на озброєння для їх доказування. Для одного, має бути ефективно обчисленим. По-друге, повинен бути єдиний єдиний алгоритм який досягає для кожної (подумай про як інший вхід до ). Цілком можливо, що без цих умов проблема може задовольнити (1), але не (2).

f

$f$

A

$A$

2^{δ f (k)}

$2^{\delta f(k)}$

δ

$\delta$

δ

$\delta$

A

$A$

— Райан Вільямс

Правильно. Витягуючи теорему 2.4 зі свого контексту, ці дві умови були втрачені. У статті виноска 1 дає умову на а друга умова наведена у зауваженні 2.

f

$f$

— Сергій Гасперс

Це майже відповідає на всі мої запитання з цього приводу! Велике спасибі. Як цікаве зауваження, хоча здається, що скорочення SERF не зберігають існування субекспоненціальних алгоритмів, здається, що лемма розщеплення ІПЗ насправді є досить сильною, щоб дати нам алгоритм до k -SAT, якщо є алгоритм.

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

2^{o (m)}

$2^{o(m)}$

— Janne H. Korhonen

Остаточне зауваження, якщо хтось натрапляє на це пізніше: мабуть, деякі джерела використовують "неоднорідне" визначення субекспоненціального часу (для всіх існує алгоритм ), а інші використовують "рівномірний" визначення (існує алгоритм.) Зокрема, IPZ використовують перший. Для останнього потрібно змінити визначення скорочення SERF, щоб параметр був наданий зменшенню як вхідний; порівняйте з вищезгаданою теоремою Chen et al. Докладніше див., Наприклад, Глава 16 Теорії параметризованої складності (2006) Флума та Грое.

ε > 0

$\varepsilon > 0$

O (2^{ε n})

$O(2^{\varepsilon n})$

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

ε

$\varepsilon$

— Janne H. Korhonen

Крім того, здається, що Флум і Грое підтверджують теорему у відповіді у своїй книзі; див. лема 16.1.

— Janne H. Korhonen