«Направлені» проблеми, що простіше, ніж їх «непрямий» варіант.

28

Я читав лекцію про сортування млинців і зазначив, що:

Що змусило мене задуматися. Є сенс, в якому "підписане" сортування "спрямоване" - ви можете розглядати знак як напрямок (і справді, це мотивація з еволюційної біології). Але це легша проблема! Це незвично, тому що загалом (принаймні на графіках) проблеми, спрямовані на розгляд, складніші (або принаймні такі ж важкі), як і їхні непрямі аналоги.

Якщо припустити щедре визначення «спрямований», чи є приклади спрямованих проблем, які легші, ніж їхні непрямі колеги?

ds.algorithms

— Суреш Венкат
джерело

2

Ви можете розглянути Horn 3SAT (кожен пункт може бути представлений як (A І B)

C) як спрямований пункт, оскільки вони можуть розглядатися як наслідки. Отже, тут керований випадок легкий, тоді як ненаправлений 3SAT важкий.

\to

$\to$

— Мохаммед Аль-Туркстані

1

Я задався подібним запитанням для класу, який я навчав (де ми використовували LP для апроксимації рішення IP): чи існує клас проблем, коли знайти ціле рішення було простіше, ніж знайти раціональне рішення

— Гопі

17

Підрахунок ейлерових схем для спрямованих графів можливий у поліноміальному часі за допомогою теоретики BEST , хоча, мабуть, та ж проблема для непрямих графіків є # P-повної .

— Тимофій Сонце
джерело

Усі відповіді чудові, але якщо мені доведеться прийняти одну, це це тому, що розрив великий і проблема дуже чиста.

— Суреш Венкат

15

$G$ $r$ $G$ $k$ $r$ $k=1$ $k$ $k=2$ $2$

— Чандра Чекурі
джерело

13

Можливо, це не найкращий приклад, але розглянемо (спрямований) цикл кришки, де завдання полягає в тому, щоб охопити всі вершини циклами вершин-роз'єднань (спрямованих). У спрямованому випадку це може бути зведено до двопартійного зіставлення і вирішено в поліноміальний час. У непрямому випадку проблема може бути зведена до нерозбірливого узгодження (і навпаки), що є більш важкою проблемою, але все-таки вирішуваною в многочлен.

— Даніель Маркс
джерело

10

G

$G$

G

$G$

G

$G$

Це, безумовно, хороший приклад, і я маю на увазі те, про що я думав, коли задавав питання.

— Суреш Венкат

2

У мене завжди було враження, що "проблеми, пов’язані з циклами", легші на спрямованих графіках. Можливо, за цим є якийсь принцип, наприклад, що 2-з'єднані компоненти мають "меншу структуру", ніж сильно пов'язані компоненти ("проблеми, пов'язані з циклами" = ті, які можна вирішити, переглянувши окремо кожен компонент).

— Дієго де Естрада

3

Дієго: якщо спрямований замкнутий хід проходить через вершину v, то через v проходить спрямований цикл. Аналогічне твердження не відповідає правилам графіків. Таким чином, у спрямованих графіках часто ми можемо розмірковувати про прогулянки замість циклів. Прогулянки є більш надійними та менш графіко-теоретичними, ніж цикли, що може бути перевагою. Можливо, це формальне пояснення вашого враження.

— Даніель Маркс

9

Ось проблема, яка, як я нещодавно зрозумів, виглядає насправді складніше в непрямому графіку, ніж спрямовані.

$m\sqrt{n}\log C$ $m$ $n$ $C$ $n^3, mn\log n$

$m\sqrt{n}\log C$ $n^3, mn\log n$

— діви
джерело

але тут "важко" просто означає стосовно (поліномічних) режимів роботи алгоритмів, які ми знаємо; можливо, у нас не вистачає якоїсь техніки, звичайно

— virgi

2

Це ще один цікавий приклад. І пс вітаємо з дивовижним новим результатом.

— Суреш Венкат

1

Спасибі, Суреш! В іншій записці я щойно помітив, що іляраз отримав свою відповідь у коментарі до відповіді Даніеля Маркса ... вибачте за дублікат.

— virgi