Нескінченно великі, але локально обмежені проблеми обчислення

Це питання натхнене коментарем, який Юкка Суомела зробив з іншого питання .

Наведіть приклади нескінченно великих, але локально обмежених задач обчислень (та алгоритмів)?

Іншими словами, які приклади обчислень, які зупиняються в кінцевий час, коли кожна машина Тьюрінга читає та обробляє лише кінцеві дані, але в цілому обчислення вирішує проблему нескінченного розміру, якщо існує безліч безлічі машин Тьюрінга, об'єднаних разом?

Для того, щоб дати кілька уявлень про те, що можливо (але дещо нетривіально), ось один приклад: розподілений алгоритм, який знаходить максимум упаковки ребер на графіку обмеженого ступеня.

Визначення проблеми

Враховуючи простий непрямий графік , крайова упаковка (або дробова відповідність) пов'язує вагу w ( e ) з кожним ребром e ∈ E таким чином, що для кожного вузла v ∈ V загальна вага ребер, що падає на v - максимум 1 . Вузол насичується, якщо загальна вага крайок, що падають, дорівнює 1 . Упаковка крайок є максимальною, якщо всі краї мають принаймні одну насичену кінцеву точку (тобто жоден з ваг не можна жадібно розширити).$G = (V,E)$$w(e)$$e \in E$$v \in V$$v$$1$$1$

Зауважте, що максимальна відповідність визначає максимальну упаковку ребер (встановити w ( e ) = 1 iff e ∈ M ); отже, це легко вирішити в класичній централізованій обстановці (припустимо, що G є кінцевим).$M \subseteq E$$w(e) = 1$$e \in M$$G$

У крайних упаковках насправді є деякі програми, принаймні, якщо один визначає додаток у звичайному сенсі TCS: набір насичених вузлів утворює -приближення мінімальної кришки вершини (звичайно, це має сенс лише у випадку скінченного G ) .$2$$G$

Модель обчислення

Будемо вважати, що існує глобальна константа така, що ступінь будь-якого v ∈ V не більше Δ .$\Delta$$v \in V$$\Delta$

Щоб це було максимально наближеним до духу оригінального питання, визначимо модель обчислення наступним чином. Будемо вважати, що кожен вузол є машиною Тюрінга, а край { u , v } ∈ E - канал зв'язку між u та v . Вхід стрічка V кодує ступінь град ( V ) від V . Для кожного v ∈ V ребра, падаючі на v , позначаються (у довільному порядку) цілими числами 1 , 2 , $v \in V$$\{u,v\} \in E$$u$$v$$v$$\deg(v)$$v$$v \in V$$v$ ; вони називаютьсялокальними мітками ребер(мітка { u , v } ∈ E може бути різною для u і v ). На апараті є інструкції, за допомогою яких він може надсилати та приймати повідомлення через кожне з цих країв; машина може звертатися до своїх сусідів за допомогою місцевих крайових міток.$1,2,\dotsc,\deg(v)$$\{u,v\} \in E$$u$$v$

Ми вимагаємо, щоб машина обчислити дійсний край упаковки для G . Точніше, кожний v ∈ V повинен надрукувати на своїй вихідній стрічці кодування w ( e ) для кожного краю e інциденту на v , упорядкованого локальними позначками ребер, а потім зупинити.$w$$G$$v \in V$$w(e)$$e$$v$

Ми говоримо, що розподілений алгоритм знаходить максимальну упаковку ребер у часі T , якщо для будь-якого графіка G максимального ступеня Δ і для будь-якого локального крайового маркування G встановлено наступне : якщо замінити кожен вузол G однаковою копією машину Тюрінга A і запускають машини, після чого після T кроків усі машини надрукували дійсне (глобально послідовне) рішення і зупинили.$A$$T$$G$$\Delta$$G$$G$$A$$T$

Нескінченності

Тепер усе вищесказане має ідеальний сенс, навіть якщо набір вузлів незмінно нескінченний.$V$

Постановка задачі та модель обчислення не мають посилань на , прямо чи опосередковано. Довжина вводу для кожної машини Тьюрінга обмежена постійною.$|V|$

Що відомо

Проблему можна вирішити в кінцевий час, навіть якщо нескінченний.$G$

Проблема нетривіальна в тому сенсі, що потрібне деяке спілкування. Більше того, час роботи залежить від . Однак для будь-якого фіксованого Δ задачу можна вирішити за постійний час незалежно від розміру G ; зокрема, проблема вирішується на нескінченно великих графах.$\Delta$$\Delta$$G$

Я не перевіряв, який найвідоміший час роботи у визначеній вище моделі (що не є звичайною моделлю, що використовується у цій галузі). Тим не менш, тривалість тривалості, яка є поліноміальною в повинна бути досить легкою для досягнення, і я вважаю, що час запуску, який є підлінійним у Δ , неможливий.$\Delta$$\Delta$

Пошук наступного покоління Cellular Automaton .

Це можна вирішити так, як ви описали в постійний час. $\;$ (тобто незалежно від введення)

По суті, кожна проблема, яка є, щонайменше, такою ж важкою, як і фарбування, вимагає алгоритму, тривалість роботи якого залежить від кількості вузлів у мережі, і тому не може працювати в нескінченному, але локально обмеженому графіку. Це випливає з насіннього журналу Лініяла * n нижньої межі.

$AC^0$$AC^0$