Алгоритми наближення часу суперполінома для MAX 3SAT

Теорема PCP стверджує, що для MAX 3SAT не існує алгоритму поліноміального часу, щоб знайти завдання, що задовольняє 7/8 пунктів задоволеної формули 3SAT, якщо .P = N $7/8+ \epsilon$$P = NP$

Існує тривіальний поліноміальний алгоритм часу, який задовольняє пунктів. Отже, чи можемо ми зробити краще, ніж якщо дозволити суперполіномічні алгоритми? Яких коефіцієнтів наближення ми можемо досягти за допомогою квазіполіноміальних алгоритмів часу ( ) або за допомогою субекспоненціальних алгоритмів часу ( )? Я шукаю посилання на будь-які подібні алгоритми.7 / 8 + ε п O ( журнал N ) 2 Про ( п $7/8$$7/8+ \epsilon$$n^{O(\log n)}$$2^{o(n)}$

Можна отримати апроксимацію 7/8 для MAX3SAT, яка працює за час без особливих проблем. Ось ідея. Розділити набір змінних в груп змінних кожен. Для кожної групи спробуйте всі способи призначити змінні в групі. Для кожної скороченої формули виконайте апроксимацію Karloff та Zwick . Виведіть завдання, що відповідає максимальній кількості пунктів, з усіх цих випробувань.2 O ( ε п ) O ( 1 / ε ) ε п 2 ε п 7 /$7/8+\varepsilon/8$$2^{O(\varepsilon n)}$$O(1/\varepsilon)$$\varepsilon n$$2^{\varepsilon n}$$7/8$

Справа в тому, що існує деякий блок змінної, такий, що оптимальне призначення (обмежене цим блоком) вже задовольняє фракцію максимальної кількості задоволених пропозицій. Ці додаткові пропозиції ви отримаєте точно правильними, і ви отримаєте решти частки оптимального за допомогою Карлоффа та Цвіка.7 /$\varepsilon$$7/8$

Цікавим є питання, чи можна отримати час для одного типу наближення. Існує "лінійна PCP-конфігурація", яку 3SAT можна скоротити за багаточлен до MAX3SAT, таким чином:$2^{O(\varepsilon^2 n)}$

• якщо екземпляр 3SAT задоволений, то екземпляр MAX3SAT повністю задоволений,
• якщо екземпляр 3SAT незадовільний, то примірник MAX3SAT не підходить 7/8 , і$7/8+\varepsilon$
• зменшення збільшує розмір формули лише коефіцієнтом .$poly(1/\varepsilon)$

Якщо припустити цю лінійну PCP-конфігурацію, наближення -час 7/8 для всіх та означатиме, що 3SAT знаходиться в час, для всіх . (Тут - кількість застережень.) Доказ використовує лему розщеплення Імпальязцо, Патурі та Зена. 7 / 8 + ε з ε 2 ε п ε $2^{O(\varepsilon^c m)}$$7/8+\varepsilon$$c$$\varepsilon$$2^{\varepsilon n}$$\varepsilon$$m$

Щоб дещо переказати те, що написав Райан Вільямс в своєму останньому абзаці:

Теорема показує Moshkovitz-RAZ , що існує функція таким чином, що , якщо Макс-3sat може бути ( 7 / 8 + 1 / ( лог - лог - п ) 0,000001 ) -approximated в час T ( n ), тоді версія рішення 3Sat знаходиться в часі 2 o ( n $T(n) = 2^{n^{1-o(1)}}$$(7/8 + 1/(\log \log n)^{.000001})$$T(n)$$2^{o(n)}$. Поширена думка, що остання неможлива (це експоненціальна гіпотеза часу), і в цьому випадку перша неможлива. Висловлюючись не зовсім точно, ви не можете перемогти для Max-3SAT в чому краще , ніж повне експоненціальне час.$7/8$