Чи існує таке поняття, як слабкий гомоморфізм вугільної вугілля?

Враховуючи набір , ми можемо визначити функції спостереження як функції, які є поліморфними для будь-якої -колагебри, тобто визначається для будь-якої -cogegebra . Інший спосіб дивитися на функції спостереження - це функції кінцевої -когельбри, якщо вона існує . Поліморфізм ми отримуємо автоматично, складаючи функцію спостереження з унікальним гомоморфізмом до кінцевої -когельгебри. Але це працює лише в тому випадку, якщо існує остаточна -когельгера. $F : Set \rightarrow Set$ $F$ $obs$ $F$ $\langle A, c : A \rightarrow FA\rangle$

o b s : \forall ⟨ A, c ⟩ . A \to B

$obs : \forall \langle A, c \rangle . A \to B$

F

$F$

F

$F$

F

$F$

Однією з визначальних характеристик функції спостереження є те, що вона скасовує будь-який гомоморфізм вуглегебри, складений праворуч, завдяки його поліморфізму. Якщо $hom$ - гомоморфізм $F$ -coalgebra, то:

o b s = o b s \circ h o m

$obs = obs \circ hom$ Під час мого дослідження, намагаючись визначити поняття спостережливої консистенції між однією вуглегеброю та іншою, у мене виникла думка про слабкий гомоморфізм вуглегебри. Ідея полягає в тому, що ми можемо «підробити» гомоморфізм вугільної вугілля, якщо будемо знати функцію спостереження достроково. Таким чином, ми могли б задовольнити,

o b s = o b s \circ h o m

$obs = obs \circ hom$ , але тільки для одного конкретного

o b s

$obs$ .

Наприклад, нехай $FX = \{0,1\} \times X$ , і нехай $obs$ визначається як

o b s : \forall ⟨ A, c ⟩ . A \to {0, 1}^{2}

$obs : \forall \langle A, c\rangle. A \to \{0,1\}^2$

o b s = ⟨ (π_{1} \circ c), (π_{1} \circ c \circ π_{2} \circ c) ⟩

$obs = \langle (\pi_1 \circ c), (\pi_1 \circ c \circ \pi_2 \circ c) \rangle$ Тобто,

o b s

$obs$ приймає перші два елементи потік.

Тоді гомоморфізм F-вуглегебри повинен забезпечити збереження всіх елементів потоку, тоді як слабкий гомоморфізм для $obs$ потребує збереження перших двох елементів потоку.

У моєму дослідженні це поняття було б корисним для того, щоб показати, що одна вуглегебра спостережно відповідає іншій, показуючи, що кожна скінченна лінійна функція спостереження має слабкий гомоморфізм від першої вуглегебри до другої вуглегебри. Іншими словами, кожне обмежене лінійне спостереження на першій вугіллі може бути відтворене на другій вугіллі.

(Що я маю на увазі під лінійною функцією спостереження, я вважаю себе неактуальною, але заради спільного використання ... Лінійна функція спостереження - це більш-менш функція, яка використовує кожний стан набору носіїв лише один раз. Я намагаюся моделювати оракул, і користувачеві заборонено повертатися назад і робити вигляд, що він ніколи не задавав питання.)

Мої запитання:

Це було досліджено? Чи існують уже "слабкі гомоморфізми вугільної когедри" під якоюсь іншою назвою?
Чи існує більш "теорія категорій", як це представити?

Редагувати : Видалено два питання, які не так важливі.

ct.category-theory

— Франсіско Мота
джерело

Чи є якась причина думати, що сайт з питань інформатики - відповідне місце для цього питання?

— Сашо Ніколов

Так. -кальгебри мають застосування в інформатиці, і це питання виникло під час проведення досліджень у галузі інформатики. Також на cstheory.stackexchange є інші питання щодо -когельгери.

F

$F$

F

$F$

— Франсіско Мота

Як приклад застосувань до інформатики, поняття нерозрізненості (які іноді використовуються в криптографії) можна визначити з точки зору слабких гомоморфізмів.

— Франсіско Мота

Мені було б цікаво побачити посилання, де це було зроблено та використано для доказування чогось.

— Сашо Ніколов

Ця стаття: citeseer.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.11.7571 Здається, має дуже схоже уявлення про "слабкий гомоморфізм", як у мого вище. Але визначення дещо інше, і я не знаю, чи насправді воно збігається. Він визначає спостерігач , який я до сих пір не розумію, і це визначає слабкий гомоморфізм для між і як функцією такого що Але я ще не знаю, що означає

O

$O$

O

$O$

⟨ A, α ⟩

$\langle A, \alpha \rangle$

⟨ B, β ⟩

$\langle B, \beta \rangle$

f : A \to B

$f: A \to B$

β^{O} \circ f = O (f) \circ α^{O}

$\beta^O \circ f = O(f) \circ \alpha^O$

O

$O$

— Франсіско Мота

Відповіді:

Описані вами "слабкі морфізми" мають назву в дещо обмеженій обстановці. Їх також можна визначити досить загально, як я поясню.

У випадку, коли зберігає слабкі відхилення (багато природних функціонерів на do), відомо, що поведінкова еквівалентність збігається з вуглегебраїчною подібністю. Тоді ваші морфізми відомі як функціональні швидкі бісумуляції, де є порядковим. Щоправда, я коли-небудь бачив їх, визначених для порядок . До створення вуглегебри модальні логіки вивчали n-ступінчасті бізімуляції для кадрів Kripke, які складають n-ступінчасті бісумуляції для вугільних шрамів для функтора силового набору. Ваша вимога, щоб вони були функціями на відміну від відносин, робить їх функціональними n-ступінчастими бізімуляціями. $T : \mathsf{Set} \to \mathsf{Set}$ $\mathsf{Set}$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha \leq \omega$

З іншого боку, ви можете визначити поняття, про яке ви говорите, у набагато більш загальній обстановці, не посилаючись на вуглегебраїчні бісумуляції. Для будь-якої категорії , яка має межі порядкових-індексований коцепямі і будь-який функтор можна визначити «з кінцевої послідовності . Умова щодо обмежень насправді досить слабка, наприклад, багато категорій (включаючи ) насправді повні, тобто мають усі невеликі обмеження. Термінальна послідовність є діаграмою в і виглядає так: $\mathbb{C}$ $T : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ $T$ $\mathsf{Set}$ $\mathbb{C}$

$1 \quad \xleftarrow{!_{T1}} \quad T1 \quad \xleftarrow{T !_{T1}} \quad T^2 1 \quad \xleftarrow{T^2 !_{T1}} \quad \dots \quad T^\omega 1 \quad \xleftarrow{f_\omega^{\omega + 1}} \quad T(T^\omega 1) \quad \xleftarrow{Tf_\omega^{\omega + 1}} \quad \dots$

Тут - термінальний об'єкт у (межа порожнього кочана). Наприклад, у це може бути один елемент набору . Карта - це унікальний морфізм в кінцевому об'єкті, наприклад, в просто відображається кожен елемент в . Кожен обчислюється за допомогою ітерації а - межа кокаїни, що передує їй. Потім можна продовжувати і далі , якщо потрібно. Інтуїтивно - це сукупність $1$ $\mathbb{C}$ $\mathsf{Set}$ $1 = \{*\}$ $!_{T1} : T1 \to 1$ $\mathsf{Set}$ $T1$ $*$ $T^n 1$ $T$ $T^\omega 1$ $\omega$ $T^\alpha 1$ $\alpha$ -послідовна поведінка.

Тепер будь-яка кальгебра індукує конус над цією послідовністю, тобто колекцію -морфізмів для кожного порядковий . Я просто визначу їх для : $T$ $(Z,\gamma)$ $\mathbb{C}$ $\mathsf{beh}_\gamma^\alpha : Z \to T^\alpha 1$ $\alpha$ $\alpha < \omega$

$\mathsf{beh}_\gamma^0 : Z \to 1$ - це унікальна карта в термінальному об'єкті.

$\mathsf{beh}_\gamma^{n+1} = T\mathsf{beh}_\gamma^n \circ \gamma : Z \to T^{n+1} 1$

Інтуїтивно ці карти надсилають стан у до його ступінчастої поведінки. Тепер ми можемо описати, про що ви говорите. Припустимо, у нас є дві -коалгебри і . Тоді -морфізм зберігає -step поведінку iff: $Z$ $\alpha$ $T$ $(A,\gamma)$ $(B,\delta)$ $\mathbb{C}$ $f : A \to B$ $\alpha$

$\mathsf{beh}_\delta^\alpha \circ f = \mathsf{beh}_\gamma^\alpha$

Тобто, поведінка ступінь в - це саме ступінь поведінки в . $\alpha$ $f(z)$ $\delta$ $\alpha$ $z$ $\gamma$

У будь-якому випадку, я сподіваюся, що це корисно. Ви можете знайти різні посилання на googling 'термінальна вуглегебра послідовності' або 'кінцева когегебра послідовності.

— Роб
джерело

Дякую за цю інформативну та доступну відповідь! У мене є одне зауваження та одне запитання. Зауваження: Ідея "функції спостереження" та "слабкого морфізму", як на моїй посаді, є дещо більш загальною - слабкий морфізм не повинен зберігати всю поведінку до рівня (і це має вирішальне значення для моєї програми). Це можна легко "виправити", маючи і . Запитання: Чим відрізняється та ?

α

$\alpha$

o b s : T^{α} 1 \to B

$\mathsf{obs}:T^\alpha 1 \to B$

o b s \circ {b e h}_{δ}^{α} \circ f = o b s \circ {b e h}_{γ}^{α}

$\mathsf{obs} \circ \mathsf{beh}_\delta^\alpha \circ f = \mathsf{obs} \circ \mathsf{beh}_\gamma^\alpha$

{b e h}_{γ}^{ω}

$\mathsf{beh}_\gamma^\omega$

{b e h}_{γ}^{ω + 1}

$\mathsf{beh}_\gamma^{\omega+1}$

— Франсіско Мота

Я не впевнений, що я розумію ваше зауваження. Ви маєте на увазі, що глибина збереженої поведінки змінюється, наприклад, і еквівалентні 2-х ступеням, але і є 4-ступінчастим еквівалентом? Зауважте, що ступінь еквівалентності означає еквівалентність кроку для всіх .

z

$z$

f (z)

$f(z)$

z^{'}

$z'$

f (z^{'})

$f(z')$

α

$\alpha$

β

$\beta$

β \leq α

$\beta \leq \alpha$

— Роб

Мені не так просто пояснити різницю між та у так мало місця. Якщо коротко, поведінка багатьох функторів визначається його -step поведінкою, наприклад, для кожен нескінченний бінарний потік визначається глибиною n наближених. Однак існують функтори, поведінка яких не визначається таким чином, наприклад, лічильник потужності або функтор з повною потужністю. У цих випадках надає додаткову інформацію.

{b e h}_{γ}^{ω}

$\mathsf{beh}_\gamma^\omega$

{b e h}_{γ}^{ω + 1}

$\mathsf{beh}_\gamma^{\omega+1}$

ω

$\omega$

2 \times I d : S e t \to S e t

$2 \times Id : \mathsf{Set} \to \mathsf{Set}$

{b e h}_{γ}^{ω + 1}

$\mathsf{beh}_\gamma^{\omega + 1}$

— Роб

Ні, ви можете тримати постійними. Ідея полягає в тому, що ми не хочемо демонструвати повну схожість, лише частину цього. Наприклад, якщо мій функтор породив структуру дерева, наприклад , я міг би вибрати лише одну гілку до глибини , а не дивитись на всі вузли до глибина . Дякую за відповідь.

α

$\alpha$

X \mapsto (2 \times X)^{2}

$X \mapsto (2 \times X)^2$

α

$\alpha$

α

$\alpha$

— Франсіско Мота

Як правило, слід уникати сильно перевантаженої термінології, наприклад, слабкої, регулярної, нормальної тощо, якщо поняття не має певної універсальності. Зокрема, здається, що ваше поняття не відповідає звичайному поняттю слабкого гомоморфізму після перегортання стрілки.

Завжди є більш описові терміни, коли ви робите щось менш універсальне, як-от "ослаблений спостереженням гомоморфізм", скорочений, можливо, "оу-гомоморфізм".

Ваше поняття функції спостереження вже забезпечує категоричне теоретичне подання. Я б більше хвилювався над тим, щоб уточнити, що саме це означає, і чому це цікаво, а не шукати максимально спільного. Зокрема, зазвичай слід наводити інформативний приклад та неприклад при введенні незвичайних понять у друк.

— Джефф Бурдж
джерело

Дякую за відповідь. Я погоджуюся з вашою рекомендацією використовувати більш конкретне ім’я. Я все ще маю намір прочитати статті про слабкі бісуляції Яна Рота ( citeseer.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.11.7571 ), щоб визначити, як вони пов'язані з моїм визначенням вище, але я ( передчасно) переконаний, що вони різні. Ще раз дякую.

— Франсіско Мота