Алгоритм пошуку підмножини

9

Припустимо, у мене є список $\cal X$ підмножини $\{1, ..., n\}$ . Я можу зробити попередню обробку в цьому списку, якщо необхідно. Після цієї попередньої обробки мені представлений ще один набір $A \subseteq \{1, ..., n \}$ . Я хочу визначити будь-які набори $B \in \mathcal X$ з $B \subseteq A$ .

Очевидний алгоритм (без будь-якої попередньої обробки) вимагає часу $O(n |\cal X|)$ - ти просто тестуєш $A$ проти кожного $B \in \mathcal X$ окремо. Чи є щось краще, ніж це?

Якщо це допомагає, ви можете припустити, що для будь-якого $A$ , загальна кількість матчів $B \in \mathcal X$ межує чимось на кшталт $O(1)$ .

ds.algorithms ds.data-structures

— Девід Харріс
джерело

3

Це не відповідь. Це просте, але тривале спостереження. Сподіваюся, це стане в нагоді.

Версія вашої проблеми є: чи $\cal X$ містять підмножину $A$ ?

Ця проблема пов'язана з проблемою оцінки монотонних булевих функцій $n$ змінні. Підмножина $\{1,\ldots,n\}$ еквівалентний $n$ -бістринг, так що сім'я $\cal X$ еквівалентна булева функція $f$ з $n$ змінні. Дана функція $f$ , можна визначити найменш монотонну функцію, яка не більша за $f$ , а саме $g(y)=(\exists x\subseteq y,\,f(x))$ . Первісна проблема зводиться до оцінювання $g(A)$ . І навпаки, проблема оцінки монотонної булевої функції може бути зведена до початкової задачі, або наївно, приймаючи $f=g$ або вибравши $f$ що робить $\cal X$ менший.

На практиці BDD мають тенденцію працювати добре. Тож один можливий підхід - це створення BDD для $f$ , походять від нього BDD для $g$ , а потім оцініть $g$ . Середній розмір BDD за $g$ повинна бути , тому що існує багато монотонних булевих функцій . Отже, теоретично це погане рішення. $\Omega\left(\binom{n}{n/2}\right)$

Але (1) можливий кращий аналіз та (2) можливий підхід до цього підходу, який робить його кращим. Наприклад, я жодним чином не використовував кореляцію між розміром та розміром 's BDD. (Має бути відповідна кореляція, але я не знаю, чи вона тут проста чи зручна.) $\cal X$ $g$

Для повноти простий алгоритм обчислення BDD для з BDD для є наступним. Тут є стандартом або операцією на BDD. $g$ $f$

m (x ? f_{1} : f_{0}) = x ? (m (f_{0}) \lor m (f_{1})) : m (f_{0})

$m(x?f_1:f_0)=x?(m(f_0)\lor m(f_1)):m(f_0)$

\lor

$\lor$

— Раду ГРИГоре
джерело

2

Чи не це більш-менш рівнозначно перерахунку відповіді для кожного підмножини , кешування всіх результатів у двійковому дереві розміром , а потім пошук праворуч результат (за часом ), коли вам дано ?

{1, 2, . . ., n}

$\{1,2,...,n\}$

2^{n}

$2^n$

O (n)

$O(n)$

A

$A$

— mjqxxxx

Використання експоненціального простору для зберігання попередньо оброблених даних звучить для мене як обман, хоча це не заборонено в питанні. Але я можу бути упередженим до церкви найскладнішої складності.

— Цуйосі Іто

mjqxxxx та Цуйосі: Я з вами згоден. Я переписав текст, щоб, сподіваюсь, було зрозуміліше, що я згоден. :)

— Раду ГРИГо

3

Можливо, ви можете використовувати техніку "пошуку інформації": на етапі попередньої обробки побудуйте інвертований індекс (у вашому випадку достатньо простого двовимірного масиву), який відображає елемент до множин у які містять його: . $n \times | {\cal X}|$ $x_i \in \{1,...,n\}$ $\cal X$ $inv(x_i)= \{ X_j \in {\cal X} \; | \; x_i \in X_j \}$

Встановіть цілий масив довжини. $occ$ $|\cal X|$

Тоді для кожного вилучення , і для кожного роблять $y_i \in A$ $inv(y_i)$ $X_j \in inv(y_i)$ $occ[j] = occ[j]+1$

Зрештою, потрібні набори - це ті, для яких . $|X_j|=occ[j]$

Ви можете довільно прискорити процес (ціною експоненціального простору), індексуючи два чи більше елементів разом.

— Марціо Де Біасі
джерело