Як вийшов Кнут А?

При інтерпретації ключів як натуральних чисел ми можемо використовувати таку формулу.

h (k) = ⌊ m (k A mod 1) ⌋

$\begin{equation} h(k) = \lfloor m (kA\bmod{1}) \rfloor \end{equation}$

Що я маю проблеми з розумінням - це те, як ми обираємо значення A де:

0 < A < 1

$\begin{equation} 0 < A < 1 \end{equation}$

За Кнутом оптимальне значення:

A \approx (\sqrt{5} - 1) / 2 = 0.6180339887...

$\begin{equation} A \thickapprox (\sqrt{5} - 1) / 2 = 0.6180339887... \end{equation}$

Отже, моє запитання полягає в тому, як Кнут прийшов до цього і як я міг обчислити оптимальне значення для моїх конкретних даних?

hash-function

— ChaosPandion
джерело

Мені просто цікаво, що ... та googling, які насправді привели посилання на "Knuth стверджує, що повторне множення на золоте співвідношення мінімізує прогалини в хеш-просторі, і, отже, це хороший вибір для комбінування разом кілька клавіш, щоб утворити одну. "

A = 1 + ϕ

$A = 1+\phi$

— Ахмед Масуд

Якщо я пам'ятаю правильно, це пояснюється в одній із вправ, в якому сенсі добре розподіляється в одиничному інтервалі. Зараз у мене немає книги для перевірки.

k A \mod 1

$kA \mod 1$

— Раду ГРИГо

@RaduGRIGДобре відома теорема про те, що є рівномірно розподіленим модулем для будь-якого ірраціонального (теорема 6.3 «Ірраціональних чисел» Нівена). Можливо, - найкращий вибір у певному сенсі.

A, 2 A, \dots

$A, 2A, \ldots$

1

$1$

A

$A$

A = 1 + ϕ

$A=1+\phi$

— дідес

Немає такого поняття, як "більш оптимальне"; це як сказати "краще". Або це оптимальне значення, або це не так.

— Джефф

Варто зазначити, що цю цінність використовують і природні процеси. Зокрема, золотий кут регулює розміщення пелюсток, квіток тощо у багатьох рослинах. Обертання на цей кут можна застосовувати неодноразово, коли розміщувати точки навколо кола, і точки будуть рівномірно розташовані (в межах постійного коефіцієнта).

— Джеймс Кінг

Дивіться вправу 9 розділу 6.4 «Мистецтво комп’ютерного програмування» .

Будь-який ірраціональний працював би, тому що розбиває найбільший проміжок (я використовую позначення для ). $A$ $\{kA\}$ $\{A\}, \{2A\}, \ldots, \{(k-1)A\}$ $\{x\}$ $x\mod 1$

Але якщо або , він має особливу властивість: це єдині значення, для яких жоден з двох новостворених прогалин не перевищує вдвічі більше, ніж інший. $A = \phi^{-1}$ $A = \phi^{-2}$

— найсідніший
джерело

Також розмір найменшого зазору максимально великий.

— Jeffε