Чи є квазіполіномічні схеми для тривіальних 3-SAT?

Припустимо, ми розглянемо 3-SAT з змінними та . Я досліджую метод, який, як видається, займає час / простір, щоб вирішити будь-яку проблему SAT, що відповідає цьому опису, в межах помилки, яку можна відрегулювати довільно. Однак є улов. $v$ $c$ $O(v^{2+\log c})$

Цей метод вимагає набору попередньо обчислених значень, після чого він може вирішити довільну задачу 3-SAT, що відповідає наведеному вище опису. Попередньо обчислені значення - це набір розміру з кожним значенням, займаючи пробіл . Справжня проблема полягає в тому, що кожне з цих значень може обчислити час . Є ймовірність, що я зможу знайти спосіб пришвидшити ці розрахунки. $O(v^{2+\log c})$ $O(1)$ $O(2^v)$

Я думаю, що самі межі перевищують верхні межі, представлені в цьому питанні (для малого ). Тож мені цікаво, чи існує тривіальний спосіб досягти верхніх меж, які я описую, якщо ми допускаємо попередні обчислення ? $c$ $O(v^{2+\log c})$

Я хотів би продовжити це дослідження і сподіваюся опублікувати свої результати, якщо все вдасться, але спочатку я хотів би дізнатися, чи є тривіальний спосіб зробити це добре чи краще.

ОНОВЛЕННЯ

Я вивчав пов'язані проблеми на додаток до дослідження цього алгоритму. Я задав це запитання на веб-сайті StackExchange IT Security, що стосується зламання паролів та SAT, якщо вас цікавить. Принаймні одна з відповідей це відображає.

ds.algorithms sat upper-bounds

— Метт Грофф
джерело

Ви кажете, що це займає O (N ^ 2 + logc) час / простір ... Так це не в PSPACE? Але в QSPACE (квазіпростір)?

— Tayfun заплати

@Tayfun Pay: Він працює в . Це детермінований алгоритм, який дає модулю результату просте (зауважте, цього результату достатньо для решти алгоритму для визначення задовольняючого завдання). Його можна балотувати на будь-якому простому рівні. Біг на більш ніж один прем'єр збільшує шанс знайти задоволення завдання. Він має шанс знайти задовольняюче завдання , якщо таке існує .

O (v^{(2 + \log c)})

$O(v^{(2+\log c)})$

p

$p$

(p - 1) / p

$(p-1)/p$

— Метт Гроф

Чи потрібен O (N ^ (2 + log (c))) SPACE?

— Tayfun заплати

@Tayfun Pay: Так. Я ще не знайшов способу зменшити міркування щодо простору.

— Метт Грофф

Я б запропонував змінити назву на більш відповідну. Поточна назва не виглядає привабливою, тоді як саме питання виглядає так.

— Йосіо Окамото

Відповіді:

Якби те, що ти вивчаєш, відпрацювало, це точно не було б банально.

Це означає, що 3SAT має (неоднорідні) схеми розміром . Тоді кожна мова в (і ієрархії полінома часу) мала б квазіполіноміальні (тобто ) розміри схем. $n^{O(\log n)}$ $NP$ $n^{O(\log^c n)}$

Навіть якщо на попередню обробку знадобилося щоб створити структуру даних розміром лише яка потім могла б правильно відповісти на довільні запити 3SAT розміром в рандомізований час з високою ймовірністю, 3SAT матиме квазіполіномічні схеми розміру, використовуючи відомий переклад рандомізованих алгоритмів до схем. Це не покращило б відомий часовий інтервал алгоритму через попередню обробку, але все одно було б надзвичайно цікавим як неоднорідний результат. $2^{2^n}$ $2^{O(\log^2 n)}$ $n$ $2^{O(\log^2 n)}$

Що ви маєте на увазі під "помилкою помилки, яку можна відрегулювати довільну суму"? Чи алгоритм рандомізований?

— Райан Вільямс
джерело

:Дякую за вашу відповідь. Алгоритм не рандомізований. Реальний час роботи самого алгоритму не так просто, як я описав його. Взагалі кажучи, ми можемо запустити його через повторні запуски, щоб усунути помилку. Отже, якщо ми запустимо його через разів, ймовірність помилки знизиться нижче . Я вагаюсь, щоб дати деталі, тому що я переживаю, що це виявить занадто багато про алгоритм.

x

$x$

1 / (2^{x})

$1/(2^x)$

— Метт Грофф

Як алгоритм не може бути рандомизованим, але ви можете запустити його кілька разів, щоб зменшити помилку? Я думаю, що вам, мабуть, доведеться дати хоча б ще кілька деталей, щоб зрозуміти своє запитання.

— Райан Вільямс

Його алгоритм такий, що (якщо він працює), для кожного простого , якщо кількість задовольняючих завдань не кратне то алгоритм знаходить задовольняюче завдання. Він (помилково) посилається на це як на "зміну знаходження задовольняючого завдання, якщо таке існує, ". Якщо залежність від не є великою, то це дає (детерміновані) квазіполіномові схеми розміру для SAT.

p

$p$

p

$p$

$\;$

(p - 1) / p

$(p-1)/p$

$\hspace{0.9 in}$

p

$p$

$\;\;$

Крок попередньої обробки потребує . Чи можу я мати посилання на "відомий переклад рандомізованих алгоритмів до схем"? Тож якщо ви хочете зменшити помилку, вам доведеться запустити попередню обробку разів. Я сумніваюся, це можна перекласти в квазі-ланцюг. Яку перевагу матиме це над тривіальним алгоритмом?

p

$p$

n

$n$

— Zirui Wang

@ZiruiWang: Знайдіть . Припустимо, структура даних відповідає на запити правильно з вірогідністю . Візьміть копій структури даних розміром кожне з яких розміщено з різними рядками випадкових бітів. Візьміть відповідь більшості на всі примірники. Це квазіполіномічний часовий рандомізований алгоритм з похибкою менше . Це може бути перетворене в квазіполіномічну схему розмірів шляхом жорсткого кодування відповідного насіння.

B P P \subset P / p o l y

$BPP \subset P/poly$

3 / 4

$3/4$

100 n

$100n$

2^{O (\log^{2} n)}

$2^{O(\log^2 n)}$

1 / 2^{n}

$1/2^n$

— Райан Вільямс

Я не знаю, чи ваш результат - якщо він дійсний - був би нетривіальним заздалегідь, але ось одна проблема, на яку ви можете його перевірити:

Проблема. Зафіксуйте функцію . Дано , знайдіть таким, що . $f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}^n$ $y \in \{0,1\}^n$ $x \in \{0,1\}^n$ $f(x)=y$

Якщо можна обчислити ефективно (скажімо, невеликим контуром), ваш результат передбачає якесь рішення цієї проблеми. $f$

У криптографічному світі найвідоміший алгоритм цієї проблеми виконує попередню обчислення (залежно лише від ), що вимагає часу та простору, і дає деякі поради розміром ; то, задавши , він може знайти за час, використовуючи рядок поради розміром з попереднього обчислення. Ви можете налаштувати компроміс між часом та часом, використовувати рядок із порадами розміру та зайняти час , поки $f$ $2^n$ $2^{2n/3}$ $2^{2n/3}$ $x$ $y$ $2^{2n/3}$ $2^{2n/3}$ $S$ $T$ $S \sqrt{T} = 2^n$ . Наскільки мені відомо, ця складність вважається найкращою можливою для алгоритмів, які не враховують жодної внутрішньої структури . Зокрема, це, ймовірно, буде оптимальним, коли - криптографічно захищена хеш-функція. (Ця методика відома як компроміс Гельмана в часі та просторі.) $f$ $f$

Отже, якщо ваша техніка може зробити кращу, ніж компроміс у часовому просторі Хеллмана на якомусь криптографічно захищеному , це, безумовно, буде новиною. $f$

— DW
джерело