Встановіть оптимізаційну проблему - чи не завершена вона np?

Встановлено . Для кожного елемента , ми маємо вага і вартість . Мета полягає у знаходженні підмножини розміром яка максимізує таку цільову функцію: . $S=\{e_1,\cdots,e_n\}$ $e_i$ $w_i>0$ $c_i>0$ $M$ $k$

\sum_{e_{i} \in M} w_{i} + \frac{\sum_{e_{i} \notin M} w_{i} c_{i}}{\sum_{e_{i} \notin M} c_{i}}

$\sum_{e_i\in M} w_i + \frac{\sum_{e_i\notin M} w_i c_i}{\sum_{e_i\notin M} c_i}$

Чи проблема NP-важка?

Оскільки об'єктивна функція здається дивною, корисно пояснити застосування цільової функції.

Припустимо, у нас є n елементів до а в нашому інвентарі є копії кожного об'єкта . У нас є кілька клієнтів, і вони зацікавлені в цих об'єктах пропорційно їх вазі , а значить, об'єкт з більшою є більш популярним. У нас є система продажу в Інтернеті, і нам потрібно правильно відповідати на запити клієнта. Ми не можемо розпізнати предмети за їхніми формами (всі вони виглядають однаково!). Але у нас є якийсь класифікатор, щоб їх знайти. Кожен класифікатор може бути використаний для виявлення копій об'єкта. Ми прагнемо запустити k класифікатор, щоб максимально задовольнити наших клієнтів. $e_1$ $e_n$ $c_i$ $e_i$ $w_i$ $w_i$

PS: Може бути корисним подумати про випадок, що для всіх ; однак я не впевнений. [ Я помилявся з цього приводу! Це в P за цим припущенням ] $w_i c_i=p$ $i\leq n$

np-hardness optimization

— Nasooh
джерело

Правильний термін менший або рівний найбільшій вазі елемента, не в М. Отже, якщо у вас є елемент з великою вагою, то краще покласти його в M, а не відпускати його на сміття. Отже, M повинен складатися з елементів з k найбільшими вагами. Правильно?

— zotachidil

Це не правильно, адже важливі також і витрати. Розглянемо наступний приклад:

— Nasooh

w1 = 50, c1 = 80 - w2 = 40, c2 = 15 - w3 = 10, c3 = 5. Для k, рівного 1, вибір e2 є більш вигідним, ніж e1.

— Nasooh

Ти правий. Хм ...

— зотачиділ

Дякую за спробу пояснити мотивацію. На жаль, зв’язок між вашим поясненням та цільовою функцією у питанні для мене все ще незрозумілий, але, мабуть, я повинен бути задоволений нинішнім поясненням, щоб тримати це питання в розумній тривалості.

— Цуйосі Іто

Відповіді:

Відповідь нижче зауважує, що особливий випадок проблеми вирішується в поліноміальний час. Це не дає повною мірою відповіді на запитання в публікації, але може дати деяке розуміння того, що може знадобитися для підтвердження твердості NP та може викликати додатковий інтерес до посади ...

$c_i$ $n$ $D = \sum_i c_i$

$(S, w, c, K)$ $w,c\in\mathbb{R}_+^n$ $S=\{1,2,\ldots,n\}$ $M\subseteq S$ $K$ $\frac{\sum_{i\in M} w_i c_i}{\sum_{i\in M} c_i} - \sum_{i\in M} w_i$

$(d_1, d_2, k, m)$ $0\le d_1 \le d_2 \le D$ $0\le k \le K$ $k\le m\le n$

ϕ (d_{1}, d_{2}, k, m) = max {\sum_{i \in M} w_{i} (c_{i} / d_{1} - 1) : M \subseteq [m], | M | = k, \sum_{i \in M} c_{i} = d_{2}} .

$\textstyle\phi(d_1, d_2, k, m) = \max \Big\{ \sum_{i\in M} w_i (c_i / d_1 - 1) ~:~ M \subseteq [m],\, |M| = k, \, \sum_{i\in M} c_i = d_2\Big\}.$

max_{d} ϕ (d, d, K, n)

$\max_d \phi(d, d, K, n)$

можливі рішення для на ті, що містять і ті, що ні, отримаємо повторення Ми залишаємо граничні випадки як вправу. $\phi(d_1, d_2, k, m)$ $m$

ϕ (d_{1}, d_{2}, k, m) = max {\begin{cases} ϕ (d_{1}, d_{2} - c_{m}, k - 1, m - 1) + w_{m} (c_{m} / d_{1} - 1) \\ ϕ (d_{1}, d_{2}, k, m - 1) . \end{cases}

$\textstyle\phi(d_1, d_2, k, m) = \max\begin{cases} \phi(d_1, d_2 - c_m, k-1,m-1) + w_m(c_m/d_1-1) \\ \phi(d_1, d_2, k, m-1). \end{cases}$

Кількість подзадач є , і для кожного правої сторона рецидиву може бути оцінена в постійна час, тому алгоритм працює в поліноміальний час в і . $O(n^2 D^2)$ $n$ $D$ $~~\Box$

Наслідок Якщо P = NP, будь-яке зменшення, що показує твердість NP, зменшиться до випадків, коли не є многочленом у . $D$ $n$

Зауваження. Якщо я не помиляюся, існує також проблема PTAS в пості, заснована на округленні , а потім за допомогою динамічного програмування. Однак існування PTAS не має прямого відношення до того, чи є проблема важкою для NP, про що йдеться у посту. $w_i$

Мені також цікаво --- чи хтось знає, чи має особливий випадок, коли (для кожного ) має алгоритм полі-часу? (EDIT: так, за коментарем Вілларда Жана це, здається, оптимізоване, приймаючи щоб містити найбільших елементів.) $w_i=c_i$ $i$ $M$ $k$

— Ніл Янг
джерело

Чи не випадок такий же, як мінімізація , яка оптимізована, коли складається з найбільшого з?

w_{i} = c_{i}

$w_i=c_i$

(\sum_{i \neq j \notin M} w_{i} w_{j}) / (\sum_{i \notin M} w_{i})

$(\sum_{i\neq j\notin M}w_iw_j)/(\sum_{i\notin M} w_i)$

M

$M$

w_{i}

$w_i$

— Віллард Жан

@WillardZhan, так, це здається правильним.

— Ніл Янг

-6

Ви запитуєте про максимізацію функції без обмежень?

Це дійсно просто. Якщо М найбільший набір, то це найкраще рішення. Не потрібно нічого обчислювати.

Ця проблема здається схожою на проблему з рюкзаком, яка, до речі, є NP.

— Гільєрмо.
джерело

Питання говорить: “підмножина M розміром k”.

— Цуйосі Іто