Орієнтовна сума відсортованого списку

Нещодавно я працював над проблемою для обчислення приблизної суми списку відсортованих негативних чисел. При будь-якому фіксованому , з O ( журнал N ) тимчасової схеми апроксимації була отримана таким чином, що вона дає ( 1 + е ) -аппроксімація на суму. Стаття розміщена на веб-сайті http://arxiv.org/abs/1112.0520 , яка не була остаточно завершена.$\epsilon>0$$O(\log n)$$(1+\epsilon)$

Я шукав існуючі роботи з цієї проблеми, але я отримав лише декілька робіт, що віддалено пов'язані, і цитував їх. Чи вивчалася ця проблема раніше? Якщо хтось знає якісь існуючі дослідження з цієї проблеми, будь ласка, дайте мені знати. Я буду вдячний за допомогу та оновлюю цитати відповідно. Якщо результати старі, папір буде скинутий у сміттєвий контейнер.

Ця проблема вирішена в наступній роботі, де більш загальні проблеми вирішуються здебільшого: http://valis.cs.uiuc.edu/~sariel/papers/06/integrate/ .

Прочитавши доказові деталі основної набору Хар-Пеледа , тепер я розумію, що його метод передбачає алгоритм часу O (log n) для приблизної суми відсортованих від'ємних чисел. Основний набір формується підмножиною чисел у відсортованому списку, і їх положення залежать лише від розміру n і списку наближення epsilon. Ваги всіх точок основної множини обчислюються за час O (log n). Таким чином, він приводить алгоритм часу O (log n) для приблизної суми відсортованого списку, хоча це не чітко заявлено в роботі. Оскільки алгоритм прихований у доказуванні побудови ядра замість заявлених теорем у статті Хар-Пеледа, я не бачив такого висновку відразу після перевірки результатів у роботі.

Я переглянув свою роботу, видаливши розділ 4, який містить алгоритм часу O (log n). Папір Хар-Пеледа цитується в оновленій версії. Перший алгоритм зберігається, оскільки він має незрівнянну складність із часом O (log n). Наприклад, він працює в час O (журнал n n журналу), коли числа у впорядкованому вхідному списку знаходяться в діапазоні від 0 до (log n) ^ {O (1)}. Алгоритм заснований на квадратичному пошуку регіону, що сильно відрізняється від побудови ядра. Нижчі межі часу також зберігаються, але трохи переглядаються.

Тепер у мене є краще уявлення про твори в цьому рядку. Я справді вдячний за професійну допомогу колег з теоретичних інформатик на цьому веб-сайті, яка дає чудові відгуки. Моя доопрацьована стаття буде доступна на тому ж архівному сайті протягом найближчих кількох днів. Я щиро вітаю подальші коментарі щодо пов'язаних посилань, які можуть бути пропущені.

Бін Фу

$\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(\log n)$

$\varepsilon > 0$$0\leq a_1 \leq a_2 \leq \dots \leq a_n$

$\qquad a_n, \frac{a_n}{1+\varepsilon}, \frac{a_n}{(1+\varepsilon)^2}, \dots , \frac{a_n}{(1+\varepsilon)^k}$

$k \in \mathcal{O}\left(\frac{\log n}{\varepsilon}\right)$

$\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(\log n)$

$\mathcal{O}(\log n)$$a_n \cdot (1+\varepsilon)^{-j}$$a_n \cdot (1+\varepsilon)^{-j}$$a_n \cdot (1+\varepsilon)^{-(j+1)}$$\mathcal{O}((\log n)^2)$