Мінімальний DFA, що задовольняє кінцевий вигляд мови

Скажімо, у вас є мова , але ніхто не знає, які рядки насправді є частиною мови. Все, що існує, - це кінцевий вигляд мови: кінцевий набір рядків які, як відомо, є мовою, і кінцевий набір рядків , які відомі не бути в мові.$L \subseteq \Sigma^*$$A \subseteq L$$B \subseteq (\Sigma^* \setminus L)$

Наприклад, скажімо, у мене є і . У мене може бути мова , оскільки і узгоджуються з , або у мене може бути повністю інша мова.$A = \{ab, aaab, aaaaabb\}$$B = \{b, aab, aaaba\}$$L = \{a^{2i+1}b^j~|~i, j \in \mathbb{N} \}$$A$$B$$L$

Моє запитання: чи відомий спосіб створити DFA (детерміновані кінцеві автомати), який приймає рядки в і відхиляє рядки в , з мінімальною або майже мінімальною кількістю станів? У чому складність цієї проблеми? Наскільки це добре при наближенні (якщо має досить низьку описову складність, а і великі)?$A$$B$$L$$L$$A$$B$

Оригінальне запитання на math.stackexchange.com. Я вирішив репостувати тут, не отримавши відповідей на оригінальне запитання і не маючи уявлення, де їх шукати. Якби хтось міг би вказати мені на дослідження в цій галузі, це було б дуже вдячно.

Як ви вже знаєте з коментарів, знайти мінімальний DFA, що задовольняє кінцевий набір позитивних і негативних прикладів, є -hard. Однак не вся надія втрачається, якщо ви готові трохи змінити парадигму навчання, то ми можемо повернутися до .$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

Припустимо, що ви намагаєтеся вивчити невідомий DFA який мінімальний для деякої мови . Якщо ви дозволяєте запитам про членство в oracle і виступаєте вчителем, відповідаючи на таке запитання: Враховуючи запропонований DFA чи визнає він ? Якщо ні, чи можете ви надати зустрічний приклад?Л Ш Г Л $W$$L_W$$G$$L_W$

Зауважте, що якщо оракул має доступ до він може порівнювати з у багаторазовий час, оскільки перевірити рівність між звичайними мовами легко. Генерування зустрічного прикладу також може бути здійснено в поліноміальний час.Г $W$$G$$W$

У цій рамці ви можете вивчити у поліномійному часі, використовуючи алгоритм Англуйна ( 1987 ; pdf ) (або уточнення його Шапіра ; див. Розділ 5.4.5). Для отримання додаткової інформації про цю модель, ось два питання щодо cstheory та CS.SE про неї:$W$

• Нижні межі для вивчення в запиті про членство та моделі контрприкладу

• Чи є вдосконалення алгоритму Дана Англуйна для вивчення регулярних наборів

Мені здається, ви можете використовувати уточнення еквівалентності Міхіл-Нерода для цієї проблеми.

Ми можемо визначити , якщо існує таким чином, що і . Це означає, що будь-який автомат, що відокремлює від повинен знаходитись у різних станах після читання та .$u\nsim v$$x\in\Sigma$$ux\in A$$vx\in B$$A$$B$$u$$v$

Досить вивчити це співвідношення по префіксам елементів і . Це дасть вам нижню межу кількості необхідних станів. Я не впевнений, що це прямо дає вам можливість побудувати мінімальний автомат, але це принаймні шлях для вивчення.$A$$B$

Я думаю, що ця проблема, можливо, була точно сформульована запитувачем. Опитуючий, очевидно, хоче алгоритм, який узагальнює нескінченні слова на основі конкретних кінцевих прикладів слів, використовуючи якусь механізовану індукцію, тобто розпізнаючи видимі зразки у прикладах.

На додаток до деяких досліджень теорії CS, наведених у коментарях, є ще кілька емпіричних досліджень у цій галузі, наприклад, нижче, використовуючи ANNs для створення FSM з прикладів. Зауважте, що завжди можна запустити стандартний алгоритм мінімізації DFA. Бібліотека AT&T FSM добре підходить для роботи в цій галузі.

Опитуючий не конкретизує свою проблематичну область, що може допомогти зрозуміти структуру прикладів та отримати більш конкретні посилання. Однак одним із прикладів, які можна побачити, є алгоритми AI в іграх, які використовують алгоритми FSM. Я підозрюю, що є деякі випадки, коли ФДМ вивчаються на прикладах за допомогою алгоритмів навчання.

[1] Вивчення класу великих машин з кінцевим станом з періодичною нейронною мережею C. Lee Giles, 1, BG Horne, T. Lin 1995

[2] Вивчення FSM за допомогою самонагрузки повторюваних мереж від Zeng & Smyth 1993

[3] Бібліотека AT&T FSM