Який сенс називати

У чому різниця називати -calculus алгеброю замість обчислення? Я піднімаю це питання, тому що я десь прочитав рядок " -calculus - не обчислення, а алгебра" (iirc, приписуваний Дані Скотту). У чому сенс? Дякую.$\lambda$$\lambda$

Числення - це система обчислення, заснована на маніпулюванні символічними виразами. Алгебра - це система символічних виразів та відносин між ними [*]. Тобто обчислення - це система для з'ясування відповідей, а алгебра - спосіб вираження зв’язків між термінами.

-ісчісленія або обчислення або алгебра, в залежності від того, чи хочете ви думати про р і п правил як орієнтованих правил редукції або неорієнтованих рівнянь. Якщо ви вважаєте, що правила орієнтовані, то ви зафіксували наказ про оцінку, і правила розповідають, як прийняти термін і створити нормальну форму. Якщо ви вважаєте, що правила є неорієнтованими, то вони дають вам відношення рівності у λ -термінах.$\lambda$$\beta$$\eta$$\lambda$

[*] Існує також категоричне визначення алгебри, яке є формальним визначенням дещо обмежуючим, ніж неформальна ідея. Різно кажучи, різниця полягає в тому, що формальне визначення алгебри охоплює саме ті системи без змінної прив'язки. Таким чином, комбінатори SKI утворюють алгебру, але -рахунок не робить.$\lambda$

Традиційно алгебра - це набір носіїв з операціями, які задовольняють деяким рівнянням (думаю, "група"). Існує багато способів узагальнення поняття:

• багатосортні алгебри мають кілька наборів носіїв. Прикладом може служити модуль над кільцем R , де ми хочемо розглядати все як єдину алгебру. Інший, досить нерозумний приклад, - це спрямований графік, який має два набори несучих, E ребер і V вершин, і дві операції, джерело s : E → V і ціль E → V , які не відповідають рівнянням.$M$$R$$E$$V$$s : E \to V$$E \to V$

• можуть бути дозволені більш загальні аксіоми, які не є просто рівняннями. Наприклад, аксіоми для поля - це всі рівняння, крім . Інший приклад - щось на зразок інтегрального домену.$x \neq 0 \implies x \cdot x^{-1} = 1$

• можуть бути дозволені більш загальні операції , зокрема операції нескінченної суворості, або операції вищого порядку, які приймають функції в якості аргументів. Прикладом інфанітарної операції є алгебри у середніх точках Мартіна Ескардо та Алекса Сімпсона. Якщо ви далеко підете в цьому напрямку, ви приїдете до монад.$M$

У цьому сенсі нетипізований -розрахунок є алгеброю, оскільки він задається в термінах набору носіїв з деякими операціями (більш високого порядку), що задовольняють деяким рівнянням ( β і η ).$\lambda$$\beta$$\eta$

Існує досить точне визначення того, що є алгебра в теорії категорій: див. Цю статтю, наприклад. Минуло кілька років, щоб зрозуміти, як структура з пов'язаними змінними може бути зрозуміла в тому ж контексті, що і термін структура алгебри, який зазвичай використовується в математиці та інформатиці, і виявляється, що категорична концепція F-алгебр здатна об'єднати два. Я не впевнений, що відносно історичних аспектів рішення, але одним із можливих підходів є алгебри попереднього очищення, запроваджені Фіоре, Плоткіним та Турі (доступні тут ), вирішили питання і спричинили різні, але схожі підходи, див . та його докторант Джуліанна Зсідо .

$\lambda$

Хоча це правда, що поняття "числення" менш чітко визначене, ніж поняття "алгебра", загалом "обчислення" загалом передбачає процес обчислення, тоді як алгебри мають структури побудови з рівняльними теоріями.
Можна сказати, є більше відчуття, що алгебри "вже існують" як структури, і ми просто розкриваємо правди про них, а не використовуємо якийсь метод для отримання нових відповідей, які раніше не існували.

Якщо ви подумаєте, що Скотт намагався досягти з доменами Скотта, його твердження має сенс: він намагався знайти заздалегідь задані математичні та алгебраїчні структури, які послужили б фіксованою семантикою для ЖК. Він хотів усунути відчуття, що зміст терміна - це те, що трапляється в результаті певного процесу.

Можливо, вас зацікавить попередня відповідь на пов'язане питання: Що являє собою денотаційну семантику?

$\beta$$\eta$$M$$N$

Якщо Скотт коли-небудь називав лямбда-числення «алгеброю» (в чому я сумніваюся), то він би робив досить тонку думку, а саме, що ви можете вважати, що обчислення лямбда має апріорне значення.

Все-таки йому важко буде переконати будь-якого алгебраїста у його твердженні, оскільки у нього немає рівнянь в обчисленні лямбда, у нього є еквіваленти (тобто на метарівні). "Комбінаційна алгебра", з іншого боку, цілком нормальна.

Не існує такого поняття, як числення , але є чітко визначений математичний об'єкт, який називається алгебра , хоча слово має багато вживань . Однак я здогадуюсь, що ім'я було дано в значенні

(...) абстрактне вивчення систем числення та операцій всередині них.

$\lambda$