Як використовувати розповсюдження міток Scikit-Learn для структурованих даних графіків?

У рамках мого дослідження мені цікаво розповсюдження міток на графіку. Мене особливо цікавлять ці два методи:

• Сяоїн Чжу та Зубін Гахрамані. Навчання з мічених та не маркованих даних із розповсюдженням міток. Технічний звіт CMU-CALD-02-107, Університет Карнегі Меллон, 2002 http://pages.cs.wisc.edu/~jerryzhu/pub/CMU-CALD-02-107.pdf
• Денджонг Чжоу, Олів'є Буске, Томас Навін Лал, Джейсон Вестон, Бернхард Шелкопфф. Навчання з місцевою та глобальною послідовністю (2004) http://citeseer.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.115.3219

Я бачив, що scikit-learn пропонують модель зробити це. Однак ця модель повинна застосовуватися для векторних структурованих даних ( тобто точок даних).

Модель будує матрицю спорідненості з точок даних за допомогою ядра, а потім запускає алгоритм на побудованій матриці. Я хотів би мати можливість безпосередньо ввести матрицю суміжності мого графіка замість матриці подібності.

Будь-яка ідея, як цього досягти? Або вам відома будь-яка бібліотека Python, яка дозволить запускати розповсюдження міток безпосередньо на структурованих графіком даних для двох вищезгаданих методів?

Заздалегідь дякую за вашу допомогу!

Відповідаючи тут на власне запитання, я сподіваюся, що він буде корисний деяким читачам.

Scikit-learn призначений насамперед для роботи з векторними структурованими даними. Отже, якщо ви хочете виконати розповсюдження міток / розповсюдження міток на даних, структурованих за графами, вам, ймовірно, краще самостійно реалізовувати метод, а не використовувати інтерфейс Scikit.

Ось реалізація розповсюдження міток та розповсюдження міток у PyTorch.

Дві методи в цілому дотримуються одних і тих же алгоритмічних кроків, з варіаціями того, як нормалізується матриця суміжності та як розповсюджуються мітки на кожному кроці. Отже, давайте створимо базовий клас для наших двох моделей.

from abc import abstractmethod
import torch

class BaseLabelPropagation:
    """Base class for label propagation models.

    Parameters
    ----------
    adj_matrix: torch.FloatTensor
        Adjacency matrix of the graph.
    """
    def __init__(self, adj_matrix):
        self.norm_adj_matrix = self._normalize(adj_matrix)
        self.n_nodes = adj_matrix.size(0)
        self.one_hot_labels = None 
        self.n_classes = None
        self.labeled_mask = None
        self.predictions = None

    @staticmethod
    @abstractmethod
    def _normalize(adj_matrix):
        raise NotImplementedError("_normalize must be implemented")

    @abstractmethod
    def _propagate(self):
        raise NotImplementedError("_propagate must be implemented")

    def _one_hot_encode(self, labels):
        # Get the number of classes
        classes = torch.unique(labels)
        classes = classes[classes != -1]
        self.n_classes = classes.size(0)

        # One-hot encode labeled data instances and zero rows corresponding to unlabeled instances
        unlabeled_mask = (labels == -1)
        labels = labels.clone()  # defensive copying
        labels[unlabeled_mask] = 0
        self.one_hot_labels = torch.zeros((self.n_nodes, self.n_classes), dtype=torch.float)
        self.one_hot_labels = self.one_hot_labels.scatter(1, labels.unsqueeze(1), 1)
        self.one_hot_labels[unlabeled_mask, 0] = 0

        self.labeled_mask = ~unlabeled_mask

    def fit(self, labels, max_iter, tol):
        """Fits a semi-supervised learning label propagation model.

        labels: torch.LongTensor
            Tensor of size n_nodes indicating the class number of each node.
            Unlabeled nodes are denoted with -1.
        max_iter: int
            Maximum number of iterations allowed.
        tol: float
            Convergence tolerance: threshold to consider the system at steady state.
        """
        self._one_hot_encode(labels)

        self.predictions = self.one_hot_labels.clone()
        prev_predictions = torch.zeros((self.n_nodes, self.n_classes), dtype=torch.float)

        for i in range(max_iter):
            # Stop iterations if the system is considered at a steady state
            variation = torch.abs(self.predictions - prev_predictions).sum().item()

            if variation < tol:
                print(f"The method stopped after {i} iterations, variation={variation:.4f}.")
                break

            prev_predictions = self.predictions
            self._propagate()

    def predict(self):
        return self.predictions

    def predict_classes(self):
        return self.predictions.max(dim=1).indices

Модель бере на вхід матрицю примикання графіка, а також мітки вузлів. Мітки мають форму вектора цілого числа, що вказує номер класу кожного вузла з -1 у положенні немечених вузлів.

Алгоритм розповсюдження міток представлений нижче.

$$\begin{array}{l}{ \mathbf{W} \text {: adjacency matrix of the graph} \\ \text { Compute the diagonal degree matrix } \mathbf{D} \text { by } \mathbf{D}_{i i} \leftarrow \sum_{j} W_{i j}} \\ {\text { Initialize } \hat{Y}^{(0)} \leftarrow\left(y_{1}, \ldots, y_{l}, 0,0, \ldots, 0\right)} \\ {\text { Iterate }} \\ {\text { 1. } \hat{Y}^{(t+1)} \leftarrow \mathbf{D}^{-1} \mathbf{W} \hat{Y}^{(t)}} \\ {\text { 2. } \hat{Y}_{l}^{(t+1)} \leftarrow Y_{l}} \\ {\text { until convergence to } \hat{Y}^{(\infty)}} \\ {\text { Label point } x_{i} \text { by the sign of } \hat{y}_{i}^{(\infty)}}\end{array}$$

Від Сяоїна Чжу та Зубіна Гахрамані. Навчання з мічених та не маркованих даних із розповсюдженням міток. Технічний звіт CMU-CALD-02-107, Університет Карнегі Меллон, 2002

Ми отримуємо таку реалізацію.

class LabelPropagation(BaseLabelPropagation):
    def __init__(self, adj_matrix):
        super().__init__(adj_matrix)

    @staticmethod
    def _normalize(adj_matrix):
        """Computes D^-1 * W"""
        degs = adj_matrix.sum(dim=1)
        degs[degs == 0] = 1  # avoid division by 0 error
        return adj_matrix / degs[:, None]

    def _propagate(self):
        self.predictions = torch.matmul(self.norm_adj_matrix, self.predictions)

        # Put back already known labels
        self.predictions[self.labeled_mask] = self.one_hot_labels[self.labeled_mask]

    def fit(self, labels, max_iter=1000, tol=1e-3):
        super().fit(labels, max_iter, tol)

Алгоритм розповсюдження міток:

$$\begin{array}{l}{ \mathbf{W} \text {: adjacency matrix of the graph} \\ \text { Compute the diagonal degree matrix } \mathbf{D} \text { by } \mathbf{D}_{i i} \leftarrow \sum_{j} W_{i j}} \\ {\text { Compute the normalized graph Laplacian } \\ \mathcal{L} \leftarrow \mathbf{D}^{-1 / 2} \mathbf{W} \mathbf{D}^{-1 / 2}} \\ {\text { Initialize } \hat{Y}^{(0)} \leftarrow\left(y_{1}, \ldots, y_{l}, 0,0, \ldots, 0\right)} \\ {\text { Choose a parameter } \alpha \in[0,1)} \\ {\text { Iterate } \hat{Y}(t+1) \leftarrow \alpha \mathcal{L} \hat{Y}^{(t)}+(1-\alpha) \hat{Y}^{(0)} \text { until convergence to } \hat{Y}^{(\infty)}} \\ {\text { Label point } x_{i} \text { by the sign of } \hat{y}_{i}^{(\infty)}} \end{array}$$

З Дендьонг Чжоу, Олів'є Буске, Томаса Навіна Лал, Джейсона Вестона, Бернгарда Шелкопфа. Навчання з місцевою та глобальною послідовністю (2004)

Отже, реалізація полягає в наступному.

class LabelSpreading(BaseLabelPropagation):
    def __init__(self, adj_matrix):
        super().__init__(adj_matrix)
        self.alpha = None

    @staticmethod
    def _normalize(adj_matrix):
        """Computes D^-1/2 * W * D^-1/2"""
        degs = adj_matrix.sum(dim=1)
        norm = torch.pow(degs, -0.5)
        norm[torch.isinf(norm)] = 1
        return adj_matrix * norm[:, None] * norm[None, :]

    def _propagate(self):
        self.predictions = (
            self.alpha * torch.matmul(self.norm_adj_matrix, self.predictions)
            + (1 - self.alpha) * self.one_hot_labels
        )

    def fit(self, labels, max_iter=1000, tol=1e-3, alpha=0.5):
        """
        Parameters
        ----------
        alpha: float
            Clamping factor.
        """
        self.alpha = alpha
        super().fit(labels, max_iter, tol)

Тепер перевіримо наші моделі поширення на синтетичних даних. Для цього ми обираємо графік печерного людини .

import pandas as pd
import numpy as np
import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt

# Create caveman graph
n_cliques = 4
size_cliques = 10
caveman_graph = nx.connected_caveman_graph(n_cliques, size_cliques)
adj_matrix = nx.adjacency_matrix(caveman_graph).toarray()

# Create labels
labels = np.full(n_cliques * size_cliques, -1.)

# Only one node per clique is labeled. Each clique belongs to a different class.
labels[0] = 0
labels[size_cliques] = 1
labels[size_cliques * 2] = 2
labels[size_cliques * 3] = 3

# Create input tensors
adj_matrix_t = torch.FloatTensor(adj_matrix)
labels_t = torch.LongTensor(labels)

# Learn with Label Propagation
label_propagation = LabelPropagation(adj_matrix_t)
label_propagation.fit(labels_t)
label_propagation_output_labels = label_propagation.predict_classes()

# Learn with Label Spreading
label_spreading = LabelSpreading(adj_matrix_t)
label_spreading.fit(labels_t, alpha=0.8)
label_spreading_output_labels = label_spreading.predict_classes()

# Plot graphs
color_map = {-1: "orange", 0: "blue", 1: "green", 2: "red", 3: "cyan"}
input_labels_colors = [color_map[l] for l in labels]
lprop_labels_colors = [color_map[l] for l in label_propagation_output_labels.numpy()]
lspread_labels_colors = [color_map[l] for l in label_spreading_output_labels.numpy()]

plt.figure(figsize=(14, 6))
ax1 = plt.subplot(1, 4, 1)
ax2 = plt.subplot(1, 4, 2)
ax3 = plt.subplot(1, 4, 3)

ax1.title.set_text("Raw data (4 classes)")
ax2.title.set_text("Label Propagation")
ax3.title.set_text("Label Spreading")

pos = nx.spring_layout(caveman_graph)
nx.draw(caveman_graph, ax=ax1, pos=pos, node_color=input_labels_colors, node_size=50)
nx.draw(caveman_graph, ax=ax2, pos=pos, node_color=lprop_labels_colors, node_size=50)
nx.draw(caveman_graph, ax=ax3, pos=pos, node_color=lspread_labels_colors, node_size=50)

# Legend
ax4 = plt.subplot(1, 4, 4)
ax4.axis("off")
legend_colors = ["orange", "blue", "green", "red", "cyan"]
legend_labels = ["unlabeled", "class 0", "class 1", "class 2", "class 3"]
dummy_legend = [ax4.plot([], [], ls='-', c=c)[0] for c in legend_colors]
plt.legend(dummy_legend, legend_labels)

plt.show()

Реалізовані моделі працюють правильно і дозволяють виявляти спільноти на графіку.

Примітка. Представлені методи поширення мають використовуватися на ненаправлених графіках.

Код доступний як інтерактивний ноутбук Юпітера тут .