Я переглядав папір BERT, в якій використовується GELU (лінійна одиниця помилок Гаусса), яка визначає рівняння як
що в свою чергу наближається до
Чи можете ви спростити рівняння та пояснити, як воно було наближене.
Я переглядав папір BERT, в якій використовується GELU (лінійна одиниця помилок Гаусса), яка визначає рівняння як
що в свою чергу наближається до
Чи можете ви спростити рівняння та пояснити, як воно було наближене.
Відповіді:
Ми можемо розширити кумулятивний розподіл , тобто , таким чином:
Зауважте, що це визначення , а не рівняння (або відношення). Автори надали деякі обґрунтування цієї пропозиції, наприклад, стохастична аналогія , однак математично це лише визначення.
Ось сюжет GELU:
Для цих типів числових наближень ключовою ідеєю є пошук подібної функції (в першу чергу на основі досвіду), параметризація її, а потім пристосування до набору точок від вихідної функції.
Знаючи, що дуже близький до
і перша похідна збігається зпри, що дорівнює , приступаємо до розміщення
Я встановив цю функцію на 20 зразків між ( за допомогою цього сайту ), і ось коефіцієнти:
Встановивши , оцінювали як . Якщо більше зразків з ширшого діапазону (цього сайту дозволено лише 20), коефіцієнт буде ближче до паперу . Нарешті ми отримуємо
із середньою квадратичною помилкою для .
Зауважимо, що якщо ми не використали зв’язок між першими похідними, термін була б включена в параметрах наступним
Як запропонував @BookYourLuck , ми можемо використовувати паритет функцій для обмеження простору поліномів, в яких ми шукаємо. Тобто, оскільки є непарною функцією, тобто , а - це також непарна функція, поліноміальна функція всередині також повинна бути непарною (повинна мати лише непарні сили ) мати
Ось код Python для генерації точок даних, підгонки функцій та обчислення середніх помилок у квадраті:
import math
import numpy as np
import scipy.optimize as optimize
def tahn(xs, a):
return [math.tanh(math.sqrt(2 / math.pi) * (x + a * x**3)) for x in xs]
def sigmoid(xs, a):
return [2 * (1 / (1 + math.exp(-a * x)) - 0.5) for x in xs]
print_points = 0
np.random.seed(123)
# xs = [-2, -1, -.9, -.7, 0.6, -.5, -.4, -.3, -0.2, -.1, 0,
# .1, 0.2, .3, .4, .5, 0.6, .7, .9, 2]
# xs = np.concatenate((np.arange(-1, 1, 0.2), np.arange(-4, 4, 0.8)))
# xs = np.concatenate((np.arange(-2, 2, 0.5), np.arange(-8, 8, 1.6)))
xs = np.arange(-10, 10, 0.001)
erfs = np.array([math.erf(x/math.sqrt(2)) for x in xs])
ys = np.array([0.5 * x * (1 + math.erf(x/math.sqrt(2))) for x in xs])
# Fit tanh and sigmoid curves to erf points
tanh_popt, _ = optimize.curve_fit(tahn, xs, erfs)
print('Tanh fit: a=%5.5f' % tuple(tanh_popt))
sig_popt, _ = optimize.curve_fit(sigmoid, xs, erfs)
print('Sigmoid fit: a=%5.5f' % tuple(sig_popt))
# curves used in https://mycurvefit.com:
# 1. sinh(sqrt(2/3.141593)*(x+a*x^2+b*x^3+c*x^4+d*x^5))/cosh(sqrt(2/3.141593)*(x+a*x^2+b*x^3+c*x^4+d*x^5))
# 2. sinh(sqrt(2/3.141593)*(x+b*x^3))/cosh(sqrt(2/3.141593)*(x+b*x^3))
y_paper_tanh = np.array([0.5 * x * (1 + math.tanh(math.sqrt(2/math.pi)*(x + 0.044715 * x**3))) for x in xs])
tanh_error_paper = (np.square(ys - y_paper_tanh)).mean()
y_alt_tanh = np.array([0.5 * x * (1 + math.tanh(math.sqrt(2/math.pi)*(x + tanh_popt[0] * x**3))) for x in xs])
tanh_error_alt = (np.square(ys - y_alt_tanh)).mean()
# curve used in https://mycurvefit.com:
# 1. 2*(1/(1+2.718281828459^(-(a*x))) - 0.5)
y_paper_sigmoid = np.array([x * (1 / (1 + math.exp(-1.702 * x))) for x in xs])
sigmoid_error_paper = (np.square(ys - y_paper_sigmoid)).mean()
y_alt_sigmoid = np.array([x * (1 / (1 + math.exp(-sig_popt[0] * x))) for x in xs])
sigmoid_error_alt = (np.square(ys - y_alt_sigmoid)).mean()
print('Paper tanh error:', tanh_error_paper)
print('Alternative tanh error:', tanh_error_alt)
print('Paper sigmoid error:', sigmoid_error_paper)
print('Alternative sigmoid error:', sigmoid_error_alt)
if print_points == 1:
print(len(xs))
for x, erf in zip(xs, erfs):
print(x, erf)
Вихід:
Tanh fit: a=0.04485
Sigmoid fit: a=1.70099
Paper tanh error: 2.4329173471294176e-08
Alternative tanh error: 2.698034519269613e-08
Paper sigmoid error: 5.6479106346814546e-05
Alternative sigmoid error: 5.704246564663601e-05