Низька модель: стаціонарний шлях проти шляху збалансованого зростання

11

Гаразд, тож у мене виникають реальні проблеми розмежування концепції "Сталого стану" та збалансованого шляху зростання в цій моделі:

Y = K^{β} (A L)^{1 - β}

$Y = K^\beta (AL)^{1-\beta}$

Мене попросили отримати стійкі значення капіталу на одного ефективного працівника:

k^{*} = {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{1}{1 - β}}

$k^*=\left(\frac{s}{n+g+ \delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}$

А також стаціонарне відношення капіталу до випуску (К / У):

\frac{K^{S S}}{Y^{S S}} = \frac{s}{n + g + δ}

$\frac{K^{SS}}{Y^{SS}} = \frac{s}{n+g+\delta }$

Я знайшов обидва ці штрафи, але мене також попросили знайти "стійку величину граничного продукту капіталу, dY / dK". Ось що я зробив:

Y = K^{β} (A L)^{1 - β}

$Y = K^\beta (AL)^{1-\beta}$

M P K = \frac{d Y}{d K} = β K^{β - 1} (A L)^{1 - β}

$MPK = \frac{dY}{dK} = \beta K^{\beta -1}(AL)^{1-\beta }$

Заміна для K у стаціонарному стані (обчислюється при розробці стаціонарного стану для відношення K / Y вище)

K^{S S} = A L {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{1}{1 - β}}

$K^{SS} = AL\left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}$

M P K^{S S} = β (A L)^{1 - β} {[A L {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{1}{1 - β}}]}^{β - 1}

$MPK^{SS} = \beta (AL)^{1-\beta }\left[AL\left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}\right]^{\beta -1}$

M P K^{S S} = β {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{β - 1}{1 - β}}

$MPK^{SS} = \beta \left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{\beta -1}{1-\beta }}$

По-перше, мені потрібно знати, чи правильний цей розрахунок для стаціонарного значення MPK?

По-друге, мене попросили визначити часові шляхи співвідношення капіталу та виробництва та граничного продукту капіталу для економіки, яка сходиться до свого збалансованого шляху зростання "знизу".

У мене виникають проблеми з розумінням того, що саме є збалансованим шляхом зростання, на відміну від сталого стану, і як використовувати мої розрахунки, щоб з'ясувати, як повинні виглядати ці графіки.

Вибачте за пост мамонта, будь-яка допомога дуже вдячна! Заздалегідь спасибі.

— Джеймс Бейкер
джерело

14

Це коли спроба на точність створює плутанину і нерозуміння.

Зрештою, моделі зростання не передбачали технологічного прогресу і призвели до довгострокової рівноваги, що характеризується постійними величинами на душу населення. Усно, термін "стаціонарний стан" здавався доцільним для опису такої ситуації.

Потім з'явилися моделі Ромера та ендогенного росту, що також підштовхнуло старі моделі почати включати як звичайну функцію екзогенних факторів росту (крім кількості населення). І "раптом", на душу населення умови не були постійними в довгостроковій рівновазі, а зростали з постійною швидкістю . Спочатку література характеризувала таку ситуацію як "стабільний стан темпів зростання".

Тоді здається, що професія подумала щось на кшталт "неточно тут вживати слово" стійкий ", оскільки величина на душу населення зростає. Що трапляється, що всі величини ростуть із врівноваженою швидкістю (тобто з однаковою швидкістю, і тому їх співвідношення залишається Постійно). І оскільки вони ростуть, вони йдуть шляхом ... "Еврика !: народився термін" збалансований шлях росту ".

... До розчарування студентів (принаймні), яким зараз слід пам’ятати, що, наприклад, «сідловий шлях» - це дійсно шлях у діаграмі «Фаза», але «збалансований шлях зростання» - це лише точка! (адже для того, щоб насправді намалювати фазову діаграму та отримати стару добру довгострокову рівновагу, ми виражаємо величини на ефективного працівника, і ці величини мають традиційний стаціонарний стан. Але ми продовжуємо називати це "збалансованим шляхом росту", оскільки величини на душу населення, що саме нас цікавить, в нашому індивідуалістичному підході) продовжують зростати).

Таким чином, "збалансований шлях зростання" = "стабільний стан величин на одиницю ефективності праці", і, мабуть, ви можете визначити інше для вашої фазової діаграми.

— Алекос Пападопулос
джерело

4

Після розмови з користувачем @denesp в коментарях мого попереднього відповіді, я повинен пояснити наступне: звичайне графічний пристрій ми використовуємо , пов'язані з основною Солоу моделі зростання (дивись, наприклад , тут , малюнок 2) не є фазову діаграму, оскільки розумно називаємо "фазовими діаграмами" ті, що містять локуси зміни нуля, ідентифікують точки їх перетину як фіксовані точки динамічної системи та вивчають їх властивості стійкості. І це не те, що ми робимо для моделі Solow. Тож було недбале використання термінології з мого боку.

Тим не менш, ми можемо скласти "напівфазну діаграму" для моделі росту Солоу в просторі. Розуміючи символи як "на одиницю ефективності праці", ми маємо систему диференціальних рівнянь (тоді як ) $(y,k)$ $y=f(k)$

\dot{k} = s y - (n + δ + g) k

$\dot k = sy - (n+\delta+g)k$

\dot{y} = f_{k}^{'} (k) \cdot \dot{k}

$\dot y = f'_k(k)\cdot \dot k$ Написавши рівняння зміни нуля як слабку нерівність, щоб показати також динамічні тенденції, ми маємо

\dot{k} \geq 0 ⟹ y \geq \frac{n + δ + g}{s} k

$\dot k \geq 0 \implies y \geq \frac {n+\delta+g}{s} k$

\dot{y} \geq 0 ⟹ \dot{k} \geq 0

$\dot y \geq 0 \implies \dot k \geq 0$

Отже ця система дає єдиний локус зміни нуля, пряму лінію. Немає пунктів перетину для визначення фіксованої точки Що ми можемо зробити? Накресліть також функцію виробництва на діаграмі, оскільки насправді простір є одновимірним, а не площею, а лінією. Тоді ми отримуємо $(y,k)$

Вертикальні / горизонтальні стрілки, що вказують на динамічні тенденції, надходять належним чином від слабких нерівностей вище (і і мають тенденцію до зростання, коли вище локусу зміни нуля). Потім, оскільки і обмежені рухатися по пунктирній лінії (що є виробничою функцією), випливає, що вони рухаються до своєї фіксованої точки, незалежно від того, з чого ми починаємо. Тут графік виробничої функції по суті представляє шлях до довгострокової рівноваги, оскільки конвергенція монотонна. $y$ $k$ $y$ $k$

— Алекос Пападопулос
джерело