Конверт Парадокс

Є два конверти. Один містить$x$ гроші, а інше містить $2x$кількість грошей. Точна сума "$x$"мені невідомо, але я знаю вище. Я вибираю один конверт і відкриваю його. Бачу $y$ гроші в ньому, очевидно, де $y \in \{x, 2x\}$.

Тепер мені пропонують зберігати або перемикати конверти.

Очікуване значення перемикання - $(\frac{1}{2} \cdot 2y + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}y) = \frac{5}{4}y$. Очікувана цінність зберігання мого конверта -$y$.

Здається, я завжди повинен перемикати конверти. Мої два питання:

Чи правильно це міркування?

Чи інакше, якщо мені не дозволяють відкривати конверт і бачити $y$ кількість грошей, і тоді мені надається можливість переключитися на невизначений термін?

Ось "очікуваний корисний максимізація / теоретичний ігровий процес" до цього питання (з дефісом теоретично заданої теорії). У таких рамках відповіді видаються чіткими.

ПРЕМІСТИ

Нам з абсолютною чесністю говорять, що, бо $x$ суворо позитивна грошова сума, два бокси були розміщені у коробці: $\{A=x, B= 2x\}$ з присвоєним ідентифікаційним номером $1$ і $\{A=2x, B= x\}$ з присвоєним ідентифікаційним номером $0$. Потім нічия від Бернуллі $(p=0.5)$ було виконано випадкову змінну, і на основі результату та події, що сталася, сум $x$ і $2x$ були поміщені в конверти $A$ і $B$. Нам не кажуть, у чому цінність$x$ є, або яка сума пішла на який конверт.

Перший випадок: виберіть конверт із можливістю перемикатися, не відкриваючи його

Перше питання - як вибрати конверт ? Це стосується переваг. Тож припустимо, що від нас очікують максимізатори корисних функцій з функцією корисності$u()$.

Тут можна моделювати ймовірнісну структуру, розглядаючи дві дихотомічні випадкові величини, $A$ і $B$що представляють конверти та кількість в них. Підтримка кожного є$\{x, 2x\}$. Але вони не є незалежними. Тому ми повинні почати із спільного розподілу. У таблиці таблиці - спільний розподіл та відповідні граничні розподіли

$$\begin{array}{| r | r | } \hline \text{A} \;/ \;\;\text{B} \rightarrow & x & 2x & \text {Marg A} \\ \hline \hline x & 0 & 0.5 & 0.5\\ \hline 2x & 0.5 & 0 & 0.5 \\ \hline \text{Marg B} & 0.5 & 0.5 & 1.00 \\ \hline \end{array}$$

Це нам говорить про це $A$ і $B$ мають однакові граничні розподіли.

Але це означає, що не важливо, як ми обираємо конверти, адже ми завжди отримаємо ту ж очікувану корисність ,

$$0.5 \cdot u(x) + 0.5\cdot u(2x)$$

З чим ми стикаємося тут - складна гра (як вибрати конверт) над двома однаковими азартами (кожен конверт). Ми можемо вибрати$A$ з вірогідністю $1$, $0$або що-небудь середнє (та взаємодоповнююче для $B$). Це не має значення. Ми завжди отримаємо ту ж очікувану утиліту. Зауважте, наше ставлення до ризику тут не грає ролі.

Тож ми вибираємо конверт, скажімо $A$, і ми на це дивимось. Яка зараз наша очікувана корисність? Точно так само, як і до вибору . Вибір конверта будь-яким способом не впливає на ймовірність того, що знаходиться всередині.

Нам дозволяється перемикатися. Скажімо, ми це робимо, і зараз ми тримаємо конверт$B$. На що зараз очікується корисність? Точно так само, як і раніше .

Для нас це два можливі стани світу: обирайте $A$ або вибрати $B$. За будь-якого вибору обидва держави світу мають однакове значення для нашої обраної / прийнятої рушійної сили (тобто максимізувати очікувану корисність).

Тож тут ми байдужі до переключення. і насправді ми могли б також рандомізувати.

2-й СПРАВКА: ВІДКРИТТЕ ЕНЕРВЮ з можливістю перемикатися після

Припустимо, що ми вибрали $A$, відкрив його і знайшов усередині суму $y \in \{x, 2x\}$. Чи це змінює речі?

Подивимось. Цікаво, що таке

$$P(A = x \mid A \in \{x, 2x\}) = ?$$

Добре, $\{x, 2x\}$ - вибірковий простір, на якому випадкова величина $A$визначено. Кондиціонування всього простору вибірки, тобто тривіальної сигма-алгебри, не впливає ні на ймовірності, ні на очікувані значення. Ніби ми не задаємося питанням "у чому цінність"$A$ якщо ми знаємо, що всі можливі значення можуть бути реалізовані? "Ефективних знань не отримано, тож ми все ще перебуваємо на початковій ймовірнісній структурі.

Але мені також цікаво, що таке

$$P(B = x \mid A \in \{x, 2x\}) = ?$$

Заява про кондиціювання, належним чином розглядається як сигма-алгебра, породжена подією $\big \{A \in \{x, 2x\}\big\}$, являє собою весь пробний простір продукту, на якому знаходиться випадковий вектор $(A,B)$було визначено. З наведеної вище таблиці спільного розподілу ми бачимо, що розподіл ймовірностей суглоба рівнозначний розподілу ймовірностей маргіналів (кваліфікація "майже достовірно" через наявність двох подій міри нуля). Тож і тут ми суттєво обумовлюємо ймовірності$B$на весь простий простір. Звідси випливає, що наша дія щодо відкриття конверта не вплинула на ймовірнісну структуру для$B$ також.

Введіть теорію ігор разом з прийняттям рішень. Ми відкрили конверт, і ми маємо вирішити, переключимось чи ні. Якщо ми не переходимо, ми отримуємо корисність$u(y)$. Якщо ми переходимо, то ми перебуваємо в наступних двох можливих станах світу

$$y = x, u(A) = u(x) \implies u(B) = u(2x)$$ $$y = 2x, u(A) = u(2x)\implies u(B) = u(x)$$

Ми не знаємо, який стан насправді має місце, але згідно з вищезгаданою дискусією ми знаємо, що кожен має ймовірність $p=0.5$ існуючих.

Ми можемо моделювати це як гру, де наш опонент - «природа» і де ми знаємо, що природа з певністю грає у рандомізовану стратегію :$p=0.5$ $y=x$ і с $p=0.5$, $y=2x$. Але ми також тепер, що якщо ми не переходимо, наша виплата певна. Тож ось наша гра в нормальному вигляді з нашими виплатами:

$$\begin{array}{| r | r | } \hline \text{We} \;/ \;\;\text{nature} \rightarrow &y= x & y=2x \\ \hline \text{Switch} & u(2x) & u(x) \\ \hline \text{Don't Switch} & u(y) & u(y) \\ \hline \end{array}$$

Ми повинні протистояти спокусі замінити $u(x)$ і $u(2x)$ для $u(y)$. $u(y)$- відома і певна виплата. Виплати за стратегію "Switch" насправді не відомі (оскільки ми не знаємо значення$x$). Тож нам слід змінити заміну . Якщо$y=x$ тоді $u(2x) = u(2y)$, і якщо $y=2x$ тоді $u(x) = u(y/2)$. Тож ось наша гра знову:

$$\begin{array}{| r | r | } \hline \text{We} \;/ \;\;\text{nature} \rightarrow &y= x & y=2x \\ \hline \text{Switch} & u(2y) & u(y/2) \\ \hline \text{Don't Switch} & u(y) & u(y) \\ \hline \end{array}$$

Тепер відомі всі виплати в матриці. Чи є чиста домінуюча стратегія?

Очікувана виплата стратегії "Switch" така

$$E(V_S) = 0.5\cdot u(2y) + 0.5 \cdot u(y/2)$$

Очікувана виплата стратегії "Не перемикатися" є

$$E(V_{DS}) = u(y)$$

Ми повинні перейти, якщо

$$E(V_S) > E(V_{DS}) \implies 0.5\cdot u(2y) + 0.5 \cdot u(y/2) > u(y)$$

І тепер ставлення до ризику стає критичним. Не важко зробити висновок, що за ризикованої та ризикованої нейтральної поведінки нам слід переключитися.

Що стосується поведінки , що запобігає ризику , я вважаю елегантний результат:

Для "менш увігнутих" (суворо вище) функцій корисності, ніж логарифмічні (скажімо, квадратний корінь), тоді нам слід переключитися.

Для логарифмічної корисності $u(y) = \ln y$, ми байдужі між перемиканням чи ні.

Для "більш увігнутих", ніж (суворо нижче) логарифмічних функцій корисності, ми не повинні перемикатися.

Закриваю схемою логарифмічного випадку

Припустимо $y=4$. Тоді$y/2 =2, 2y = 8$. Лінія$Γ-Δ-Ε$- це лінія, на якій буде лежати очікувана утиліта від "Switch". Оскільки природа грає на$50-50$ стратегія, це насправді буде в курсі $\Delta$, яка є середньою точкою $Γ-Δ-Ε$. У цей момент за допомогою логарифмічної утиліти ми отримуємо абсолютно таку ж утиліту від "Не перемикатися", тобто$\ln(4)$ для цього числового прикладу.

Якщо ви відкриєте конверт E1 і бачите, що його значення E1 = Y , то вірно, що значення іншої оболонки E2 знаходиться в {E2 = Y / 2, E2 = 2Y} .

Вірно також, що очікуване значення цього конверта становить (Y / 2) * Pr (E2 = Y / 2) + (2Y) * Pr (E2 = 2Y) .

Помилка в припущенні , що Рг (Е2 = Y / 2) = Pr (Е2 = 2Y) = 1/2 , незалежно від того, що Y є. Спрощеним способом показати це - припустити, що кожен конверт містить паперові гроші США різних номіналів. Якщо Y = $ 1 , то E2 не може бути Y / 2 .

Більш суворий доказ є надто детальним, щоб навести тут, але його підсумок спочатку передбачає, що для будь-якого значення Z , що Pr (Z / 2 <= E2 <Z) = Pr (Z <= E2 <2Z) . Це по суті те саме припущення, що і в останньому абзаці, розширене до діапазону значень. Але якщо це справедливо для будь-якого значення Z , це означає, що Pr (Z * 2 ^ (N-1) <= E2 <Z * 2 ^ (N-1)) є постійним для кожного значення N , від -inf до інф. Оскільки це неможливо, припущення не може бути правильним.

+++++

Це, можливо, було трохи заплутано, тому дозвольте спробувати приклад. Вам дають два набори з двох конвертів. В одному наборі вони містять 10 та 20 доларів. В іншому вони містять 20 і 40. Ви вибираєте набір, а потім відкриваєте один конверт у цьому наборі, щоб знайти 20. Тоді вам пропонується можливість перейти на інший конверт у цьому наборі. Ви повинні?

Так, слід переключитися. Очікуване посилення при переході на інший конверт - [(20-10) + (20-40)] / 2 = +5.

Зауважте, що цей екземпляр - тобто знаючи, що ви знайшли 20, а не 10 чи 40, відповідає умовам, які ви описуєте у своєму запитанні. Отже, ваше рішення працює. Але сам експеримент не відповідає цьому опису. Якщо ви знайшли 10, або якщо ви знайшли 40, ймовірність іншого конверта становить 20 - це 100%. Очікувані прибутки становлять +10 та -20 відповідно. І якщо в середньому три можливі вигоди від ймовірностей ви отримаєте три значення, ви отримаєте 10/4 + 5/2 - 20/4 = 0.

Як правило, проблема нерозв'язна, оскільки ви не вказали процедуру рандомізації всього експерименту.

Але нехай Y - значення конверта, який ви вибрали, а X - інший конверт. Відповідь тоді$E[X|Y=y]$- що є умовним очікуванням . Однак, припускаючи найбільш загальне розподіл Y, Y рівномірно виведено з усіх$\mathbb{R}$. Але потім$Pr(Y=y)=0$, і за парадоксом Бореля – Колмогорова очікування нерозв'язне.