Моральна небезпека з небезпечним для ризику агентом

У нас є модель головного агента із прихованими діями, в яких принципал протилежний ризику, а агент - нейтральний до ризику; Припустимо, також є два рівні виробництва, $x$ і $x'$ (з $x'>x$ ) і дві дії $a,a'$ . Визначте $p(a),p(a')$ ймовірності $x'$ під дії $a,a'$ відповідно. Також дієздатність агента від дії $a'$ є $-1$ . Заробітна плата, пов'язана з $x,x'$ є $w,w'$ відповідно.

Моя проблема полягає в тому, що я не впевнений, як показати, що потрібен оптимальний контракт $x'-w' =x-w$ , тобто, що агент, будучи нейтральним до ризику, бере на себе всю мінливість, пов'язану з проектом.

Я формалізую проблему (припустимо, головний хоче спонукати $a'$ , інакше моє запитання тривіальне)

$\max\limits_{\{w,w'\}} u(x'-w')p(a') + u(x-w)(1-p(a'))$

вул

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq 0$

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq w'p(a) + w(1-p(a))$

Зокрема, коли я намагаюся вирішити проблему, максимізуючи основну очікувану виплату за умови "стандартної" індивідуальної раціональності (з мультиплікатором $\lambda$ ) та стимулюючої сумісності (з мультиплікатором $\mu$ ) (я припускаю, що принципала цікавить більше дорога дія $a'$ ) Я закінчую двома рівняннями, які не відповідають вищезгаданому результату. Зокрема:

$u'(x-w) = \lambda + \mu [1- \frac{(1-p(a))}{(1-p(a'))}]$

$u'(x'-w') = \lambda + \mu [1- \frac{p(a)}{p(a')}]$

Очевидно, що має iff що в цій проблемі не так (тут ми маємо, що ). Іншою можливістю буде припустити, що обмеження стимулювальної сумісності слабке (отже, ); однак я не можу зрозуміти, чому це повинно мати місце, коли довіритель хоче спонукати до найдорожчих дій (допомога тут) $x-w = x'-w'$ $p(a) =p(a')$ $p(a') >p(a)$ $\mu = 0$ $a'$

Я читав в Інтернеті, що іншим підходом може бути припущення, що довіритель "продає" агент агенту, а агент, вибравши, який рівень зусиль максимізує очікувану корисність, повертає фіксовану суму довірителю (називайте його ) $\beta_{a}, \beta_{a'}$

Тож у нас було б щось на кшталт:

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 -\beta_{a'} \geq 0$ якщо агент вирішив докласти великих зусиль і інакше. $w'p(a) + w(1-p(a)) -\beta_a \geq 0$

Але як тоді їхати звідти? Як переконатися, що агент збирається вибрати дію ? Як визначаються фіксовані суми? Чому вони оптимальні? $a'$

decision-theory principal-agent

— night_owl89
джерело

Підказка: Зважаючи на вашу установку, не обов'язково є ефективною дією, і тому головний директор не обов'язково хоче його викликати. Ви хочете, щоб люди припускали, що це так?

a^{'}

$a^\prime$

— Шейн

@Shane Про це йдеться у запитанні: "припустимо, що принципал хоче спонукати "

a^{'}

$a'$

— Giskard

@denesp Це правда, але це все ще важливо знати , є чи ні насправді ефективно, тому що, з огляду на ризик-нейтральний агент, продаючи проект агенту буде оптимальним незалежно від того, що, але буде викликати тільки якщо це ефективно. Якщо не є ефективним, але принципал хоче його викликати незалежно, тоді все поняття оптимальних контрактів розмито - ми знаходимо оптимальний контракт із набору контрактів, що викликає неоптимальний вибір.

a^{'}

$a^\prime$

a^{'}

$a^\prime$

a^{'}

$a^\prime$

— Шейн

Довіритель може просто здійснити платіж, щоб спонукати до суми суму, засновану на тій корисності, яку довіритель отримує за цю дію.

— DJ Sims

Чи може "заробітна плата" бути негативною або нульовою?

— Алекос Пападопулос

Відповіді:

Ця відповідь показує три речі:

Для вирішення вашої проблеми максимізації нам не потрібен підхід Лагрангія.
Нам не потрібно припущення, що . $x'-x=\frac{1}{p(a')-p(a)}$
Умова не обов'язково виконується для оптимального контракту. $x'-w'=x-w$

Виправте виплату . Проблему можна записати урахуванням обмежень Зрозуміло, що у принципала є інтерес встановити найменше можливе значення для враховуючи цей набір обмежень, оскільки цільова функція зменшується в . Тому він встановить $w$

max_{w^{'}} u (x^{'} - w^{'}) p (a^{'})

$\begin{equation*} \max_{w'}{u(x'-w')p(a')} \end{equation*}$

\begin{aligned} w^{'} p (a^{'}) \geq 1 - w [1 - p (a^{'})] \\ w^{'} [p (a^{'}) - p (a)] \geq 1 + w [p (a^{'}) - p (a)] \end{aligned}

$\begin{align*} & w'p(a') \geq 1 - w[1-p(a')] \\ & w'[p(a')-p(a)] \geq 1+w[p(a')-p(a)] \end{align*}$

w^{'}

$w'$

w^{'}

$w'$

w^{'} = max {\frac{1 - w [1 - p (a^{'})]}{p (a^{'})}, \frac{1 + w [p (a^{'}) - p (a)]}{p (a^{'}) - p (a)}}

$\begin{equation} w' = \max\{\frac{1-w[1-p(a')]}{p(a')},\frac{1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)}\} \end{equation}$

Як це робив @Alecos_Papadopoulos, є сенс припустити, що агент захищений обмеженою відповідальністю, тобто його виплати не мають негативного характеру. В іншому випадку проблема не обов'язково має вирішення: принципал завжди може отримати вигоду від зменшення та збільшення , щоб забезпечити задоволення обмежень щодо раціональної індивідуальності. Але контракт , очевидно, не є задовільним рішенням. Тому я обмежую увагу на випадок, коли і . $w$ $w'$ $(w=-\infty,w'=+\infty)$ $w \geq 0$ $w' \geq 0$

Умова означає і тому $w \geq 0$

\frac{1 + w [p (a^{'}) - p (a)]}{p (a^{'}) - p (a)} \geq \frac{1 - w [1 - p (a^{'})]}{p (a^{'})}

$\begin{equation*} \dfrac{1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)} \geq \dfrac{1-w[1-p(a')]}{p(a')} \end{equation*}$

w^{'} = \frac{1 + w [p (a^{'}) - p (a)]}{p (a^{'}) - p (a)}

$\begin{equation*} w' = \dfrac{1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)} \end{equation*}$

Включивши це рівняння в цільову функцію, проблема принципала стає

max_{w \geq 0} u (x^{'} - \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)} - w) p (a^{'}) + u (x - w) (1 - p (a^{'}))

$\begin{equation*} \max_{w \geq 0}{u(x'-\frac{1}{p(a')-p(a)}-w)p(a')+u(x-w)(1-p(a'))} \end{equation*}$ Ця об'єктивна функція зменшується в . Тому він просто встановлює і . Як висновок, рівність не має підстав задовольнятися, якщо не припустити, що , тобто що Останнє рівняння означає , що соціальний надлишок в результаті дорівнює надлишок в результаті

w

$w$

w = 0

$w=0$

w^{'} = \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)}

$w'=\dfrac{1}{p(a')-p(a)}$

x^{'} - w^{'} = x - w

$x'-w'=x-w$

x^{'} - x = \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)}

$x'-x=\dfrac{1}{p(a')-p(a)}$

p (a^{'}) x^{'} + (1 - p (a^{'})) x - 1 = p (a) x^{'} + (1 - p (a)) x

$\begin{equation*} p(a') x' + (1-p(a'))x -1= p(a)x' + (1-p(a))x \end{equation*}$

a^{'}

$a'$

a

$a$ : це дуже особливий випадок, коли вартість зусиль для агента точно компенсується збільшенням очікуваного випуску для основного. У всіх інших випадках маємо .

x^{'} - w^{'} \neq x - w

$x'-w' \ne x-w$

Я думаю, що причина, по якій агент не приймає на себе всі ризики, полягає в тому, що його дії не можна спостерігати, а отже, не піддаються суперечливості. Ця властивість була б справжньою в економіці з розподілом ризику з необмеженими розподілами. Але виділення тут спотворюється потребою стимулювати агента докладати великих зусиль.

— Олів
джерело

(+1) Це хороший підхід, я просто люблю бути формальним із простими проблемами. Одне остаточне питання щодо налаштування ОП: оскільки довільне, ніщо не гарантує, що .

x^{'}

$x'$

x^{'} \geq 1 / (p^{'} - p)

$x' \geq 1/(p'-p)$

— Алекос Пападопулос

Я не думаю, що "принципові завжди можуть отримати вигоду від зменшення та збільшення , щоб забезпечити задоволення обмежень щодо раціональності людини ". правда. Я маю на увазі, що є випадки, коли ви не можете одночасно отримати вигоду і дотримати обмеження участі.

w

$w$

w^{'}

$w'$

— Giskard

@denesp Я думаю, що це правда. Візьміть негативний і досить малий, і , щоб задовольнити обидві обмеження. Мета функції головного директора - і ця функція суворо зменшується в , коли досить мало. Тому головний завжди може зробити краще, знизивши і встановивши : жоден кінцевий вигляд не є оптимальним.

w

$w$

w^{'} = \frac{1 - w (1 - p (a^{'}))}{p (a^{'})}

$w' = \frac{1-w(1-p(a'))}{p(a')}$

u (x^{'} - \frac{1}{p (a^{'})} + w \frac{1 - p (a^{'})}{p (a^{'})}) p (a^{'}) + u (x - w) (1 - p (a^{'}))

$\begin{equation*} u(x'-\frac{1}{p(a')}+w \frac{1-p(a')}{p(a')})p(a') + u(x-w)(1-p(a')) \end{equation*}$

w

$w$

w

$w$

w

$w$

w^{'} = \frac{1 - w (1 - p (a^{'}))}{p (a^{'})}

$w'=\frac{1-w(1-p(a'))}{p(a')}$

— Олів

@Alecos Papadopoulos дякую. Чому ви хочете гарантувати, що ?

x^{'} \geq \frac{1}{p^{'} - p}

$x' \geq \frac{1}{p'-p}$

— Олів

@Oliv Якщо , то чистий дохід для основної суми від'ємний, якщо виникає , тоді як він є позитивним, якщо виникає (при ). Насправді, навіть якщо , ми у ситуації, коли головний прагне викликати дію , хоча умовна корисність нижча, якщо виникає. Це вимагало б більш комплексного лікування, щоб визначити, що тут справді оптимально. Звичайно, ми можемо прийняти проблему такою, якою вона є, з усіма її припущеннями, сприйнятими як особливі припущення, але я віддаю перевагу проблемам, які протидіють інтуїції, лише якщо, врешті-решт, вони можуть ілюмінаційно пояснити, чому.

x^{'} < 1 / (p^{'} - p)

$x' < 1/(p'-p)$

x^{'}

$x'$

x

$x$

w = 0

$w=0$

0 < x^{'} - 1 / (p^{'} - p) < x

$0< x' - 1/(p'-p) < x$

a^{'}

$a'$

x^{'}

$x'$

— Алекос Пападопулос,

Що мене тут турбує, це таке: обмеження стимулювальної сумісності

I C : w^{'} p (a^{'}) + w (1 - p (a^{'})) - 1 \geq w^{'} p (a) + w (1 - p (a))

$IC: w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq w'p(a) + w(1-p(a))$

\begin{matrix} (1) & ⟹ w^{'} - w \geq \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)} \end{matrix}

$\implies w'-w \geq \frac {1}{p(a')-p(a)} \tag{1}$

... оскільки за припущенням . Нам кажуть, що нам слід знайти, що при оптимальному $p(a')-p(a) >0$

\begin{matrix} (2) & x^{'} - w^{'} = x - w ⟹ x^{'} - x = w^{'} - w \end{matrix}

$x'-w' = x-w \implies x'-x = w'-w \tag{2}$

Поєднуючи і , якщо це дійсно є оптимальним при заданих обмеженнях, ми також повинні мати $(1)$ $(2)$

\begin{matrix} (3) & x^{'} - x \geq \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)} \end{matrix}

$x'-x \geq \frac {1}{p(a')-p(a)} \tag{3}$

Але це додаткове, необхідне обмеження апріорних величин, яке повинно мати місце, якщо постульоване оптимальне рішення буде допустимим. Навіть якщо передбачається таке обмеження, у будь-якому випадку воно помітно зменшує загальність проблеми (яка має на меті показати щось загальне, тобто як нейтралітет агента впливає на рішення).

Тим не менш, давайте попрацюємо це трохи формальніше. Я буду вважати, що може бути нульовим, але не від'ємним. Це проблема максимізації в нормальній формі з обмеженнями нерівності, змінними негативними рішеннями і невід'ємними множниками. Повна проблема Лагранжа полягає в тому, що (я очевидно компактну нотацію), $w, w'$

Λ = u (x^{'} - w^{'}) p^{'} + u (x - w) (1 - p^{'}) + λ \cdot [w^{'} p^{'} + w (1 - p^{'}) - 1] + μ \cdot [w^{'} p^{'} + w (1 - p^{'}) - 1 - w^{'} p - w (1 - p)] + ξ w + ξ^{'} w^{'}

$\Lambda = u(x'-w')p' + u(x-w)(1-p') + \lambda\cdot [w'p' + w(1-p') - 1 ]\\ + \mu \cdot [ w'p' + w(1-p') - 1 - w'p - w(1-p)] + \xi w + \xi' w'$

Основними умовами першого замовлення є

\frac{\partial Λ}{\partial w} \leq 0, \frac{\partial Λ}{\partial w} \cdot w = 0

$\frac {\partial \Lambda}{\partial w} \leq 0, \;\;\frac {\partial \Lambda}{\partial w} \cdot w = 0$

і аналогічно . Ці результати в $w'$

\frac{\partial Λ}{\partial w} = - u^{'} (x - w) (1 - p^{'}) + λ (1 - p^{'}) - μ (p^{'} - p) + ξ \leq 0

$\frac {\partial \Lambda}{\partial w} = -u'(x-w)(1-p') +\lambda (1-p') - \mu (p'-p) + \xi \leq 0$

⟹ u^{'} (x - w) (1 - p^{'}) \geq λ (1 - p^{'}) - μ (p^{'} - p) + ξ

$\implies u'(x-w)(1-p') \geq \lambda (1-p') - \mu (p'-p) + \xi$

\begin{matrix} (4) & ⟹ u^{'} (x - w) \geq λ - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$\implies u'(x-w) \geq \lambda - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi}{1-p'} \tag{4}$

\frac{\partial Λ}{\partial w^{'}} = - u^{'} (x^{'} - w^{'}) p^{'} + λ p^{'} + μ (p^{'} - p) + ξ^{'} \leq 0

$\frac {\partial \Lambda}{\partial w'} = -u'(x'-w')p' +\lambda p' + \mu (p'-p) + \xi' \leq 0$

\begin{matrix} (5) & ⟹ u^{'} (x^{'} - w^{'}) \geq λ + μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ^{'}}{p^{'}} \end{matrix}

$\implies u'(x'-w') \geq \lambda + \mu\frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi'}{p'} \tag{5}$

По-перше, зауважте, що не обидві зарплати можуть дорівнювати нулю, оскільки обмеження будуть порушені. Враховуючи це, врахуйте можливість того, що є обов'язковим (так ). Якщо вона є обов'язковою, то, якщо не обидві нульові зарплати, обмеження обов'язково буде порушено. Отже, ми робимо висновок про це $IR$ $\lambda >0$ $IC$

λ_{*} = 0

$\lambda_* = 0$

і тепер стали умови першого порядку

\begin{matrix} (4a) & u^{'} (x - w) \geq - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x-w) \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi}{1-p'} \tag {4a}$

\begin{matrix} (5a) & u^{'} (x^{'} - w^{'}) \geq μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ^{'}}{p^{'}} \end{matrix}

$u'(x'-w') \geq \mu \frac{p'-p}{1-p'} + \frac {\xi'}{p'} \tag{5a}$

Тепер зауважимо, що якщо (тобто ), то має бути рівним і з останнім членом праворуч рівним нулю. Але для цього потрібна негативна гранична корисність, яка недопустима. Ми також знаємо, що не обидві зарплати можуть бути нульовими. Отже ми робимо висновок, що треба мати $\xi =0$ $w >0$ $(4a)$

ξ_{*} > 0, w_{*} = 0, ξ_{*}^{'} = 0, w_{*}^{'} > 0

$\xi_* > 0 , w_*=0,\;\;\; \xi'_* = 0,\; w'_* >0$

і умови зараз стають

\begin{matrix} (4b) & u^{'} (x) \geq - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ_{*}}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x) \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'} \tag {4b}$

\begin{matrix} (5b) & u^{'} (x^{'} - w^{'}) = μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x'-w') = \mu \frac{p'-p}{1-p'} \tag{5b}$

Eq випливає, що за звичайною специфікацією функції утиліти, яка не дає нульової граничної корисності, за винятком нескінченності. Це в свою чергу означає , що обмеження повинно займати як рівність. Враховуючи, що це дає $(5b)$ $\mu_*>0$ $IC$ $w_*=0$

\begin{matrix} (6) & I C : w^{'} p^{'} - 1 - w^{'} p = 0 ⟹ = w_{*}^{'} = \frac{1}{p^{'} - p} \end{matrix}

$IC: w'p' - 1 - w'p =0 \implies = w'_* = \frac 1{p'-p} \tag{6}$

Це повинно дзвонити дзвоном, оскільки права частина є такою ж, як права з та . $(6)$ $(1)$ $(3)$

А саме, якщо ми апріорно припускаємо, що , то рішення, до якого ми дійшли, підтверджує твердження $x'-x = \frac 1{p'-p}$ $x'-w'_* = x-w_*$

За цим додатковим припущенням ми також отримуємо

\begin{matrix} (4c) & u^{'} (x) \geq - μ_{*} \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ_{*}}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x) \geq - \mu_* \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'} \tag {4c}$

\begin{matrix} (5c) & u^{'} (x) = μ_{*} \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x) = \mu_* \frac{p'-p}{1-p'} \tag{5c}$

Поєднуючись, ми отримуємо

μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} \geq - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ_{*}}{1 - p^{'}}

$\mu \frac{p'-p}{1-p'} \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'}$

\begin{matrix} (7) & ⟹ μ_{*} \geq \frac{ξ_{*}}{2 (p^{'} - p)} \end{matrix}

$\implies \mu_* \geq \frac {\xi_*}{2(p'-p)} \tag{7}$

Це допустимо . Отже під ми отримуємо рішення $x'-x = \frac 1{p'-p}$

{w_{*}^{'} = x^{'} - x = 1 / (p^{'} - p), w_{*} = 0, λ_{*} = 0, μ_{*} \geq \frac{ξ_{*}}{2 (p^{'} - p)}, ξ_{*} > 0, ξ_{*}^{'} = 0}

$\left \{w'_* = x'-x = 1/(p'-p), w_* =0, \lambda_*=0, \mu_* \geq \frac {\xi_*}{2(p'-p)}, \xi_* >0, \xi'_* =0\right\}$

— Алекос Пападопулос
джерело