Умова першого замовлення для максимізації прибутку в ігровій галузі

Я працюю над моделлю оптимальних відсотків виплат у гральній галузі.

Оскільки номінальна ціна квитка на 1 долар завжди становить 1 долар , ми використовуємо ефективну цінову стратегію, де Q = 1 долар у виграних призах. Якщо гра платить 50%, ефективна ціна становить 2 долари , оскільки саме на це потрібно витратити очікувані призові $ 1. Досить просто, правда?

Ну, я натрапив на цю виноску в деяких дослідженнях, і не можу зрозуміти, як вони потрапили до Умови першого порядку для максимізації прибутку з першого рівняння:

"Нехай представляє операційні витрати як функцію кількісних одиниць, де одна одиниця кількості визначається як один долар у очікуваній вартості призів.$C(Q)$

Чистий прибуток агентства лотереї дає

$$N = PQ - Q - C(Q)$$

де - ціна, що стягується за одиницю кількості.$P$

Умова першого максимізації прибутку може бути записана

$$-E_{PQ} = P(1 - C')/[P(1 -C')- 1]$$

Якщо граничні операційні витрати становлять відсотків від продажів, а коефіцієнт виплат - відсотків, ми маємо і , маючи на увазі, що цінова еластичність попиту при максимальному прибутку становить .50 P = 2 C ′ = .12 - $6$$50$$P = 2$$C' = .12$$-2.3$

Для збільшення коефіцієнта виплат для збільшення прибутку повинен перевищувати в абсолютній величині. "$E_{PQ}$$2.3$

- [Цитування] Клотфельтер, Чарльз Т і Філіп Дж Кук. "Про економіку державних лотерей". Журнал економічних перспектив: 105-19.

У рівнянні - ефективна цінова еластичність попиту. Це звичайно було б встановлено, взявши похідну відносно у першому рівнянні. P $-E_{PQ}$$P$$Q$

Як вони опинилися там, де зробили? Має бути щось, чого мені не вистачає.

У мене виникають проблеми з розумінням того, як була досягнута ця конкретна умова першого порядку - чи це був результат якогось похідного процесу з рівняння чистого доходу, чи це просто застосовується зовнішня умова.

Спасибі!

Вираз, про який йде мова, знаходиться у виносці зазначеної статті. Читаючи газету, ми бачимо , що змінне рішення тут «норма виплати», яка є зворотною . Таким чином, ми можемо вирішити задачу максимізації щодо (а не wrt ). Більше того, "цінова еластичність попиту" передбачає похідну щодо , а не навпаки:P P Q Q $11$$P$$P$$Q$$Q$$P$

$$E_{PQ} = \frac {dQ/dP}{Q}P$$

і ми очікуємо, що вона буде негативною (вища ціна означає нижчу ставку виплат, що призводить до меншого попиту на міру кількості, тобто менший «попит на призи»).

Ми можемо записати задачу про максимізацію як

$$\max_{P}N = \max_{P}\left[P\cdot Q(P) - Q(P) - C(Q(P))\right]$$

Умова першого порядку така

$$\frac{\partial N}{\partial P} = Q + P\cdot Q' - Q' - C'\cdot Q' = 0 \tag{1}$$

Помножте на :$P/Q$

$$Q\frac PQ + P\cdot Q'\frac PQ - Q'\frac PQ - C'\cdot Q'\frac PQ = 0$$

$$\Rightarrow P +P\cdot E_{PQ} - E_{PQ} - C'\cdot E_{PQ}=0$$

$$\Rightarrow -E_{PQ} = \frac {P}{P-1-C'} \tag{2}$$

Це має сенс. Підключення значень, представлених у довідці, у нас є

$$-E_{PQ} = \frac {2}{2-1-.12} = \frac {2}{0.88} \approx 2.27$$

що дуже близьке до значення, отриманого в результаті рівняння, поданого авторами. Я не зміг би за допомогою будь-яких алгебраїчних маніпуляцій повторити їх формулу, але еквівалент є правильним у будь-якому випадку. Якщо прийде примирення, я оновлю.$(2)$