Квазілінійна утиліта: оптимальність Парето спричиняє максимізацію загальної корисності?

Я читав, що якщо у нас є квазілінійна корисність для всіх споживачів, то будь-яке парето оптимальне розподіл максимізує суму рівнів корисності всіх споживачів. Це є:

$\textbf{What we know:}$

1) u^{i} (m^{i}, x^{i}) = m^{i} + ϕ^{i} (x^{i}) \forall i = 1, . . ., I

$1)\quad u^i(m^i,x^i)=m^i+\phi^i(x^i)\; \quad \forall i=1,...,I$

2) ϕ^{i} () is continous and strictly increasing (but not necessarily differentiable)

$2)\quad\phi^i(\;)\;\text{is continous and strictly increasing (but not necessarily differentiable)}$

3) An allocation, x satisfies \neg \exists \hat{x} s . t . {\hat{m}}^{i} + ϕ^{i} ({\hat{x}}^{i}) \geq m^{i} + ϕ (x^{i}) \forall i

$3)\quad \text{An allocation,}\,x\, \text{satisfies}\;\neg\,\exists\,\hat{x}\; s.t. \;\hat{m}^i+\phi^i(\hat{x}^i)\geq m^i+\phi(x^i)\;\forall i$

and {\hat{m}}^{i} + ϕ^{i} ({\hat{x}}^{i}) > m^{i} + ϕ (x^{i}) for some i

$\text{and} \quad \hat{m}^i+\phi^i(\hat{x}^i)> m^i+\phi(x^i)\,\text{for some}\,i$

$\textbf{What to show:}$

x solves m a x \sum_{i = 1}^{I} m^{i} + ϕ^{i} (x^{i})

$x\;\text{solves}\;max\sum_{i=1}^Im^i+\phi^i(x^i)$

Чи може хтось надати доказ цього? Будь-яка допомога буде дуже вдячна!

$\textbf{Edit:}\,$ я не знаю, чи це правильний шлях, але суворо зростаюча властивість уподобань задовольняє локальну ненасиченість, що означає, що вони задовольняють першій теоремі про добробут. Тепер, якби я міг розібратися, чи всі оптимальні парето-розподіли є конкурентними рівновагами з квазілінійною корисністю, я, можливо, буду на чомусь! $\phi(\,)$

microeconomics pareto-efficiency proof

— ДорнерА
джерело

Ви впевнені, що під - те саме, що під ? Здається, обмеження в бюджеті / ресурсах відсутні. І з цим ви повинні мати можливість отримати те, що ви хочете, підсумовуючи нерівності в (3) над .

m^{i}

$m^i$

{\hat{x}}^{i}

$\hat x^i$

m^{i}

$m^i$

x^{i}

$x^i$

i

$i$

— Гер К. К.

@HerrK. Це прекрасний момент і досить неприємна помилка для мене, я це зміню

— ДорнерА

Чи є властивості функції X? Наприклад, якщо він суворо збільшується, але увігнутий, то розподіл PO, де один агент приймає загальний обсяг, повинен отримати меншу загальну корисність, що розподіляє розподіл рівномірно між двома агентами.

— 123

@ 123 немає ніяких інших припущення щодо , ніж ті , що перераховані вище , до жаль

ϕ^{i} (\frac{}{})

$\phi^i(\frac{}{})$

— DornerA

Відповіді:

Правка: кромки кромки смокчуть; дивитись коментарі. Див. Також МРГ, глава 10, розділ C, D.

Припустимо, вирішує $(\vec x^*, \vec m^*)$

max \sum_{i = 1}^{I} m_{i} + ϕ_{i} (x_{i})

$\max \sum^I_{i=1} m_i + \phi_i(x_i)$

але Парето не є оптимальним.

\begin{aligned} ⟹ \exists (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) s.t. & u_{i} (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) \geq u_{i} (x_{i}^{*}, m_{i}^{*}) \forall i = 1, \dots, I \\ u_{i} (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) > u_{i} (x_{i}^{*}, m_{i}^{*}) for some i \end{aligned}

$\begin{align} \implies \exists \ (x_i', m_i') \quad \text{s.t.} \quad & u_i(x_i', m_i') \geq u_i(x_i^*, m_i^*) \quad \forall \ i = 1,\cdots,I \\ & u_i(x_i', m_i') > u_i(x_i^*, m_i^*) \quad \text{for some} \ i \end{align}$

⟹ \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{'} + ϕ_{i} (x_{i}^{'}) > \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{*} + ϕ_{i} (x_{i}^{*})

$\implies \sum^I_{i=1} m'_i + \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} m^*_i + \phi_i(x^*_i)$

що є протиріччям. Якщо у нас є рішення проблеми максимізації корисних програм, вона повинна бути оптимальною для Парето.

(Зауважте, що це відбувається з безперервних і зростаючих властивостей ) $\phi(\cdot)$

Припустимо, є можливим оптимальним розподілом Парето, але не вирішує $(\vec x^*, \vec m^*)$

max \sum_{i = 1}^{I} m_{i} + ϕ_{i} (x_{i})

$\max \sum^I_{i=1} m_i + \phi_i(x_i)$

Оскільки ми розглядаємо як чисельник, а суворо збільшується, ми знаємо, що локально ненасичений. Виділення Парето має бути просто здійсненним. $m_i$ $\phi_i(\cdot)$ $u_i(\cdot)$

\exists (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) s.t. \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{'} + ϕ_{i} (x_{i}^{'}) > \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{*} + ϕ_{i} (x_{i}^{*}) ⟹ \sum_{i = 1}^{I} ϕ_{i} (x_{i}^{'}) > \sum_{i = 1}^{I} ϕ_{i} (x_{i}^{*})

$\exists \ (x_i', m_i') \quad \text{s.t.} \quad \sum^I_{i=1} m'_i + \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} m^*_i + \phi_i(x^*_i)\\ \implies \boxed{ \sum^I_{i=1} \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} \phi_i(x^*_i)}$

Якщо це правда, тому що таке альтернативне виділення просто дає людині більше , для всіх інших рівних, то альтернативне розподіл неможливо. Тож у нас було б протиріччя. $x$

Якщо це правда, тому що в альтернативному виділенні хтось інший виділяє більше а лише іншій особі виділяється менше, то початкове виділення не було б оптимальним для Парето. Припустимо, це було. Якщо ви взяли оригінальний розподіл і перемістили у спосіб нового розподілу, то вам знадобиться відповідна торгівля чисельним товаром, , щоб утримати того, хто втрачає хоча б на тому ж рівні корисності. Але торги лише добрим числом ніколи не можуть змінити підсумкову сукупну корисність . Від початкового розподілу, якщо ви можете торгувати за $x$ $x$ $m$ $x$ $m$ $x$ і зробіть комусь краще, не травмуючи кого-небудь, ви не були оптимальними для Парето, і якщо ви не можете торгувати для щоб зробити комусь краще, ви не можете збільшити підсумкову сукупну утиліту, що означає, що оригінальний розподіл був рішення задачі про максимізацію. $m$ $x$

Ця логіка застосовується незалежно від того, як ви переставляєте між кількома людьми. $x$

$\square$

— Кітсунська кіннота
джерело

Я бачу, що ОП прийняла цю відповідь, але це не підтверджує його фактичної пропозиції. ОП стверджує, що будь-який розподіл PO вирішує задану максимізацію. Цей доказ показує, що рішення проблеми максимізації - PO. Однак цей результат одразу випливає з того, що функція корисності дає зрозуміти, що переваги задовольняють локальну ненасиченість. І ми знаємо, що не обов'язково існує біекція між точками СЕ та PO. Оригінальна пропозиція, ймовірно, помилкова, залежно від обмежень, розміщених на функції X. (Використовуючи телефон так важко використовувати LaTex - вибачте.)

— 123

Я не думаю, що ця пропозиція є вірною в стандартних умовах чистого обмінного господарства. Ось контрприклад: economics.stackexchange.com/a/15146/11824

— Amit

@Amit Я думаю, ти маєш рацію. Однак, схоже, твердження відповідає додатковій умові, що розподіл PO такий, що для всіх споживачів : . Або, якщо проблема передбачає негативні значення для . У цьому випадку вашим контрприкладом не буде PO.

(x, m)

$(x,m)$

i

$i$

m_{i} > 0

$m_i>0$

m_{i}

$m_i$

— Giskard

@KitsuneCavalry Тут криється помилка: "Від початкового розподілу, якщо ви можете торгувати за і зробити когось кращим, не травмуючи кого-небудь, ви не були оптимальним для Pareto, і якщо ви не можете торгувати для щоб зробити хтось краще, ви не можете збільшити підсумкову сукупну корисність ... "або ви не можете здійснювати торгівлю, оскільки це порушило б негативні обмеження. Бу, шахрай! : D Поверніть 50 балів: D

m

$m$

x

$x$

m

$m$

x

$x$

— Giskard

@denesp Я погоджуюсь, що результат справедливий, якщо ми дозволяємо бути будь-яким реальним числом, або лише строго позитивне дійсне число для всіх .

m_{i}

$m_i$

i

$i$

— Аміт

Я не думаю, що це правда в стандартній чистій валютній економіці, про яку йдеться. Розглянемо наступний контрприклад: Припустимо

$I = \{1,2\}$ і і . $u_1(x_1, m_1) = \sqrt{x_1} + m_1$ $u_2(x_2, m_2) = \sqrt{x_2} + m_2$

і нехай буде безліч можливих асигнувань

$\{((x_1, m_1), (x_2, m_2))\in\mathbb{R}^2_+\times\mathbb{R}^2_+: x_1+x_2 = 2, m_1+m_2 = 2 \}$ .

Зауважте, що розподіл є Pareto ефективним, але не збільшує суму утиліт. Причина полягає в тому, що виділення дає більшу суму. $a_1 = ((x_1, m_1), (x_2, m_2)) = ((2,2),(0,0))$ $a_2 = ((1,1),(1,1))$

$u_1(2,2) + u_2(0,0) = \sqrt{2} + 2 < 2 + 2 = u_1(1,1) + u_2(1,1)$ .

— Аміт
джерело

@DornerA ваші думки з цього приводу?

— Giskard

Я вважаю, ви маєте на увазі наступний результат: Будь-який розподіл ПЕ максимізує , але важко точно знати, оскільки ви не конкретні щодо здійсненність. $\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$

Дозвольте бути більш конкретним. Для кожного , . Виділення - . Набір можливих виділень . Корисність від є , де суворо зростає. $i\in\{1,\ldots,I\}$ $(x_{i},m_{i})\in\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}$ $a=(x_{i},m_{i})_{i=1}^{I}$ $F=\{(x_{i},m_{i})_{i=1}^{I}|(x_{i},m_{i})\in\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}\forall i\in\{1,\ldots,I\},\sum_{i=1}^{I}x_{i}\leq c_{x},\sum_{i=1}^{I}m_{i}\leq c_{m}\}$ $i\in\{1,\ldots,I\}$ $a\in F$ $u_{i}(a)=m_{i}+\phi_{i}(x_{i})$ $\phi_{i}$

Визначення розподілу PE є стандартним: - PE, якщо таке, що для всіх та для деяких . $a\in F$ $\nexists a'\in F$ $u_{i}(a')\geq u_{i}(a)$ $i$ $u_{i}(a')>u_{i}(a)$ $i$

Тепер я стверджую, що якщо - PE, то - це рішення , або максимізація щодо явного s st . $a$ $a$ $\displaystyle\max_{a\in F}\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ $x_{i}$ $\displaystyle\max_{(x_{i})_{i=1}^{I}\in\mathbb{R}_{+}^{I}}\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ $\sum_{i=1}^{I}x_{i}\leq c_{x}$

Я не збираюся тут доводити претензію, але ключова ідея проста і полягає в наступному. Припустимо, є PE, але не вирішує задачу максимізації. Тоді ми можемо знайти ще одне можливе таке, що . Щоправда, в , по відношенню до , агенти, що надходять, гірші, але ми можемо використовувати гроші, s, щоб зробити їх однаково добре, як під , і все одно залишатися трохи грошей, оскільки ми збільшили суму корисності, що надходить з s. $a^{*}$ $a'$ $\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i}')>\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i}^{*})$ $a'$ $a^{*}$ $m_{i}$ $a^{*}$ $x_{i}$

Ще один спосіб сказати це, що сума корисності з дорівнює . Тепер будь-яке не марнотратне виділення матиме перший додаток ідентичним. $a\in F$ $\sum_{i=1}^{I}m_{i}+\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ $a\in F$

Ще один спосіб подумати над цим - s визначити розмір пирога і гроші, s визначити перерозподіл. При квазілінійності зменшення на одну одиницю і збільшення на одну одиницю залишає незмінним. Це не вірно для і . $x_{i}$ $m_{i}$ $m_{i}$ $m_{j}$ $m_{i}+m_{j}$ $x_{i}$ $x_{j}$

Це також означає, що будь-яке яке вирішує задачу максимізації, є PE. $a\in F$

— Січ
джерело

Чи читали ви інші дві відповіді? В основному одна заявляє те саме. Інший забезпечує контрприклад.

— Giskard

@denesp Так, я читаю відповіді, і я кажу інше. Дві відповіді - це максимізація суми комунальних послуг, я кажу про максимізацію суми від s. У зустрічному прикладі критичним припущенням є те, що . Якщо для , то те, що я говорю, стосується. Яке припущення є «стандартним», можна стверджувати. Мене виховує МРГ.

x_{i}

$x_{i}$

m_{i} \geq 0

$m_{i}\geq0$

\forall i \in {1, 2}

$\forall i\in\{1,2\}$

m_{i} \in R

$m_{i}\in\mathbb{R}$

i \in {1, 2}

$i\in\{1,2\}$

— Jan

Ще один коментар, Мас-Колл, Уінстон, Зелений розділ 10, особливо частини C, а ще більше, частина D, є гарним підручником, що стосується питання, про яке запитує ОП.

— Jan