Еквівалентність моделі LEN

Вихідна позиція - модель головного агента з неповною інформацією (моральна небезпека) та такими властивостями:

Утиліта агента: $u(z)=-e^{(-r_az)}$
Основна утиліта: $B(z)=-e^{(-r_pz)}$
Рівень зусиль $e\in \Bbb R$
Результати $x\in \Bbb R, x\sim N(\mu(e), \sigma), \mu'(e)>0, \mu''(e)\le0$
Контракт: $w(x)=a+bx$ ,

де $r_A$ і $r_P$ - це показник абсолютної відмови від ризику для агента та довірителя відповідно.

Я шукаю оптимальний договір, який довіритель може запропонувати агенту, коли зусилля агента не видно. Корисність принципала можна записати так:

U^{P} (e, a, b) = \int_{- \infty}^{\infty} - e^{(- r_{P} ((1 - b) x - a))} f (x ∣ e) d x

$U^P(e,a,b)=\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx$

Я хочу показати, що виконується наступна еквівалентність, це означає, що максимізація корисності довірителя може бути записана як РЗС наступної еквівалентності:

max_{e, a, b} \int_{- \infty}^{\infty} - e^{(- r_{P} ((1 - b) x - a))} f (x ∣ e) d x \Leftrightarrow max_{e, a, b} (1 - b) μ (e) - a - \frac{r_{P}}{2} (1 - b)^{2} σ^{2}

$\max_{\rm e,a,b}\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx \Leftrightarrow \max_{\rm e,a,b}(1-b)\mu(e)-a-\frac{r_P}2(1-b)^2\sigma^2$

де - функція щільності нормальної випадкової величини , з очікуваним значенням та дисперсією . $f(x|e)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{(-\frac{1}2(\frac{x-\mu(e)}\sigma)^2)}$ $x\sim N(\mu(e),\sigma)$ $\mu(e)$ $\sigma>0$

Я спробував використовувати явну форму в LHS, трохи маніпулював нею, а потім переграв, але не міг отримати еквівалентність. $f(x|e)$

expected-utility asymmetric-information principal-agent

— Метушні
джерело

Головне, що принципала очікуваної корисності від виграшу умовно на певному рівні зусиль можна записати в вигляді $z$ $e$

E [z | e] - \frac{r_{p}}{2} Var (z | e) .

$\text{E}[{z}|e] - \frac{r_p}{2}\text{Var}(z|e).$

Іншими словами, оскільки багатство зазвичай розподіляється, експоненціальна корисність має просте представлення "середня дисперсія". Для отримання ознайомлення дивіться тут .

Я вважаю, що виплата принципала дорівнює . Тоді просто обчислити (умовне) середнє значення та дисперсію : $z$ $x - w(x) = (1 - b)x - a$ $z$

E [z | e] = (1 - b) E [x | e] - E [a] = (1 - b) μ (e) - a,

$\text{E}[z|e] = (1 - b)\text{E}[x|e] - \text{E}[a] = (1 - b)\mu(e) - a,$

Var [z | e] = (1 - b)^{2} Var (x | e) - Var (a) = (1 - b)^{2} σ^{2} .

$\text{Var}[z|e] = (1 - b)^2 \text{Var}(x|e) - \text{Var}(a)= (1 - b)^2\sigma^2.$

Звідси випливає, що очікувана корисність принципала може бути записана як

(1 - b) μ (e) - a - \frac{r_{p}}{2} (1 - b)^{2} σ^{2} .

$(1 - b)\mu(e) - a - \frac{r_p}{2}(1 - b)^2\sigma^2.$