CES: Функція виробництва: Еластичність заміщення

10

Я маю це довести $\sigma = 1/(1 + \rho)$ для функції виробництва ЄЕП:

\begin{aligned} q = (л^{ρ} + к^{ρ})^{\frac{1}{ρ}} \end{aligned}

$\begin{align} q = (l^\rho + k^\rho)^\frac{1}{\rho} \end{align}$

Я з'ясував, що мені потрібно вирішити таке рівняння:

\begin{aligned} σ = \frac{\frac{г (к / л)}{к / л}}{\frac{г R Т S}{R Т S}} = \frac{г (к / л)}{г R Т S} \frac{R Т S}{к / л} = \frac{г (к / л)}{г ((к / л)^{1 - ρ})} \frac{(к / л)^{1 - ρ}}{к / л} \end{aligned}

$\begin{align} \sigma = \frac{\frac{d(k/l)}{k/l}}{\frac{dRTS}{RTS}} = \frac{d(k/l)}{dRTS}\frac{RTS}{k/l} = \frac{d(k/l)}{d((k/l)^{1-\rho})}\frac{(k/l)^{1-\rho}}{k/l} \end{align}$

Але я просто не знаю, як переписати це вираз $\sigma = 1/(1 + \rho)$

production-function

— франкфранфранк
джерело

Перевірте приклад виробництва Cobb Douglas і спробуйте вирішити його для CES. en.wikipedia.org/wiki/Elasticity_of_substitution

— незрозумілий

9

Виробнича функція:

q = (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ}}

$q = (l^\rho + k^\rho)^\frac{1}{\rho}$ MPL і MPK відповідно:

q_{l} = \frac{\partial q}{\partial l} = \frac{1}{ρ} \cdot (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot l^{ρ - 1}

$q_l = \frac{\partial q}{\partial l} = \frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot l^{\rho-1}$

q_{k} = \frac{\partial q}{\partial k} = \frac{1}{ρ} \cdot (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot k^{ρ - 1}

$q_k = \frac{\partial q}{\partial k} = \frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot k^{\rho-1}$ Яка швидкість, яку можна замінити на k?

Де $f$ є диференційованою реальною величиною функції однієї змінної, визначаємо еластичність f (x) щодо x (у точці x), яка буде

σ (x) = \frac{x f^{'} (x)}{f (x)} \equiv \frac{\frac{d f (x)}{f (x)}}{\frac{d x}{x}}

$\sigma(x) = \frac{x f'(x)}{f(x)}\equiv \frac{\frac{df(x)}{f(x)}}{\frac{dx}{x}}$

Зробіть зміну змінних таким, що $u = ln(x)$ ( $\rightarrow x = e^u$ ) і $v=ln(f(x))$ ( $\rightarrow f(x) = e^v$ )
Зауважте, що $v' = f'(x) / f(x)$ і $u'=\frac{1}{x}$ так що $\frac{v^{'}}{u^{'}} = \frac{\frac{f^{'} (x)}{f (x)}}{\frac{1}{x}} = σ (x)$ $\frac{v'}{u'}=\frac{\frac{f'(x)}{f(x)}}{\frac{1}{x}} = \sigma(x)$
Зауважте, що це також результат, який ви отримуєте, вирішуючи питання $\frac{d ln f(x)}{d ln(x)}$ тому що $\frac{d ln f(x)}{d ln(x)} = \frac{d v}{d u}$ яке ми вирішуємо за допомогою ланцюгового правила: $\frac{d v}{d u} = \frac{d v}{d x} \cdot \frac{d x}{d u} = \frac{f^{'} (x)}{f (x)} \cdot x$ $\frac{d v}{d u} = \frac{d v}{d x} \cdot \frac{d x}{d u} = \frac{f'(x)}{f(x)} \cdot x$ що трапляється саме за визначенням $\sigma(x)$ .

Тепер давайте вирішимо вашу проблему еластичності.

л н (\frac{q_{к}}{q_{л}}) = л о г (\frac{\frac{1}{ρ} \cdot (л^{ρ} + к^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot л^{ρ - 1}}{\frac{1}{ρ} \cdot (л^{ρ} + к^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot к^{ρ - 1}}) = л н (\frac{л}{к})^{ρ - 1} = (ρ - 1) л н (л / к) = (1 - ρ) л н (к / л)

$ln(\frac{q_k}{q_l})= log(\frac{\frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot l^{\rho-1}}{\frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot k^{\rho-1}}) = ln (\frac{l}{k})^{\rho-1} = (\rho-1) ln (l/k) = (1 - \rho) ln (k/l)$

\Rightarrow л н (к / л) = \frac{1}{1 - ρ} \cdot л н (\frac{q_{к}}{q_{л}})

$\Rightarrow ln (k/l) = \frac{1}{1-\rho} \cdot ln(\frac{q_k}{q_l})$

Тому $\sigma = \frac{1}{1-\rho}$

— BKay
джерело

\frac{1}{ρ}

$\frac{1}{\rho}$ і

ρ

$\rho$ можна зменшити з похідних MPL та MPK для спрощення експозиції.

— гарей

0

Я хотів би трохи додати відповідь вище. Я писав коментар раніше, але думав, що було б корисно детальніше розібратися в аргументі.

У нас є фірма, яка використовує два фактори виробництва, робочу силу $l$ і капітал $k$ , для виробництва продукції. Кількість виписується $q$ .

Еластичність функції однієї змінної вимірює відсотковий відгук залежної змінної на відсоткове зміна незалежної змінної.

З іншого боку, еластичність заміщення між двома вхідними факторами вимірює процентну відповідь відношення їх кількості до процентної зміни відносних граничних продуктів.

Щодо вищезазначеного, ми маємо, що еластичність задана

\begin{aligned} σ \equiv \frac{г \ln (к / л)}{г \ln (М П L / М П К)} \end{aligned}

$\begin{align} \sigma \equiv \frac{d \ln{\left( k/l \right)}}{d\ln{ \left( MPL/MPK \right)}} \end{align}$

де $MPL$ є граничним продуктом праці і $MPK$ є граничним продуктом капіталу.

Причиною, що я це пишу, є те, що в наведеній відповіді є невелика помилка. У рівнянні відразу після "Тепер давайте вирішимо вашу проблему еластичності" $\ln{\frac{q_k}{q_l}}$ одразу слідує вираз для $\ln{\frac{q_l}{q_k}}$ перемикання чисельника зі знаменником.

Якщо ви виправите це, ви отримаєте це $\sigma = -\frac{1}{1-\rho}$ , що близько, але не зовсім коректно. Щоб отримати правильну відповідь, слід дотримуватися інакше точно тих же розрахунків, що наведені вище, щоб отримати

\ln к / л = \frac{1}{1 - ρ} \cdot \ln \frac{q_{л}}{q_{к}}

$\ln{k/l} = \frac{1}{1-\rho}\cdot \ln {\frac{q_l}{q_k}}$

щоб отримати це $\sigma = \frac{1}{1-\rho}$ , де виправлення з причин, викладених вище.

— математичні запитання1
джерело