Чи є опуклі комбінації двох оптимальних розподілів Парето також оптимальними для Парето?

Я навчаюся для моїх кваліфікацій, і я зіткнувся з цим питанням з іспиту минулого року.

$ bff {Питання:} $

Розглянемо дві споживчі економіки чистого обміну. Обидві переваги локально ненасичені і опуклі. Довести або спростувати наступне твердження: якщо $ (x_1, x_2) $ і $ ({x} _1, {x} _2) $ є двома різними парето оптимальними розподілами, то опуклі комбінації, $ (\ t (1 - альфа) h {x} _1, альфа x_2 + (1- альфа) {x} _2 $ ПОВИНЕН також бути парето оптимальним для будь-якого $ alfa в (0,1) $.

Я вважаю, що твердження є істинним, і ось робота для мого доказу нижче.

$ bbf {Мій доказ:} $ По парето оптимальності $ x_i $ і $ h {x} _i $: немає \ t x_i ^ зірка \ t s.t. u_i (x_i ^ star) geq u_i (x_i); {{і} \ t u_i (x_i ^ star) & gt; e {для принаймні одного} i} {{}} {u_i (x_i ^ зірка) geq u_i (х {x} _i); {{і} \ t u_i (x_i ^ star) & gt; u {i (h {x} _i) {{для принаймні одного} i $$ $$ означає: u_i (альфа x_i) geq u_i (альфа x_i ^ зірка) all i i <{і} u_i ((1 - альфа) {x} _i) geq u_i ((1 - альфа) x_i ^ зірка) \ t $$ означає, що не існує x_i ^ зірка, st, u_i (альфа x_i ^ зірка + (1- альфа) x_i ^ зірка) geq u_i (альфа x_i + (1- x {x} _i) all i $$ $$ {{}} i_i (alpha x_i ^ star + (1- альфа) x_i ^ зірка) & gt; u_i (альфа x_i + (1- альфа) h {x} _i) en {для принаймні одного} \ t $$ означає (alpha x_i + (1- alpha) h {x} _i) {{pareto optimal}} $$ $$ blacksquare $$

Цей доказ здавався занадто легким, тому мені цікаво, чи правильно / суворо.

Тут не існує x_i ^ зірка \ t s.t. u_i (альфа x_i) geq u_i (альфа x_i ^ зірка) all i i <{і} u_i ((1 - альфа) h {x} _i) geq u_i ( (1- альфа) x_i ^ зірка) $$ $$ означає, що не існує x_i ^ зірка, st, u_i (альфа x_i ^ зірка + (1 - альфа) x_i ^ зірка) geq u_i (альфа x_i + (1- h {x} _i) $$ ви вважаєте, що функція $ u $ є лінійною. На жаль, висловлювання є помилковим для нелінійних функцій корисності. Спробуйте $$ U_1 (x_1, y_1) = x_1 cdot y_1 ^ 2 hskip 20pt U_2 (x_2, y_2) = x_2 ^ 2 cdot y_2. $$ Враховуючи 1 одиницю $ x $ і $ y $ кожен, асигнування $$ (x_1, y_1) = (1,1) hskip 20pt (x_2, y_2) = (0,0) $$ і $$ (x_1 ', y_1') = (0,0) hskip 20pt (x_2 ', y_2') = (1,1) $$ обидва Парето-оптимальні. Проте точки на лінії $ x = y $ не є. Ви можете перевірити це, порівнявши $ MRS_1 $ і $ MRS_2 $ для точок у рядку. Отже, в даному випадку Парето-множина не є опуклою. (Це крива, що з'єднує дві крайні розподіли, наведені вище.)

Для доповнення відповіді densep, тут схематичне вікно Edgeworth ілюстрації того, що може піти не так. Точки пунктирної лінії - це опуклі комбінації оптимальних точок Парето $ (x_1, x_2) $ і $ (h {x} _1, {x} _2) $, але позначена точка не є Парето оптимальною.

Інший приклад лічильника: $ u_1 (x_1, y_1) = 2x_1 + y_1 $ і $ u_2 (x_2, y_2) = x_2 + 2y_2 $. Припустимо, що сумарна ендаумент $ X $ і $ Y $ в економіці становить $ (1,1) $. Розгляньте наступні два розподіли:

1. $ (x_1, y_1) = (1,1) $ і $ (x_2, y_2) = (0,0) $
2. $ (x_1 ', y_1') = (0,0) $ і $ (x_2 ', y_2') = (1,1) $

Обидва ці розподіли є ефективними. Однак їхня опукла комбінація $ (x_1 '', y_1 '') = (0,5,0,5) $ і $ (x_2 '', y_2 '') = (0,5,0,5) $ не є ефективною, оскільки виділення $ (x_1 ') '', y_1 '' ') = (1,0) $ і $ (x_2' '', y_2 '' ') = (0,1) $ краще для обох.