стохастичне панування другого порядку без однакового середнього

Нехай і - два розподіли з однаковим середнім. як кажуть , стохастично домінують у другому порядку ( SOSD ) якщо для всіх зростаючих та увігнутих . $F$ $G$ $F$ $G$

\begin{matrix} (1) & \int u (x) d F (x) \geq \int u (x) d G (x) \end{matrix}

$\int u(x)\mathrm dF(x)\ge \int u(x)\mathrm dG(x)\tag{1}$

u (\cdot)

$u(\cdot)$

Це вище визначення еквівалентно

\begin{matrix} (2) & \int_{- \infty}^{x} F (t) d t \leq \int_{- \infty}^{x} G (t) d t, \forall x \in R . \end{matrix}

$\int_{-\infty}^x F(t)\mathrm dt\le \int_{-\infty}^xG(t)\mathrm dt,\qquad\forall x\in\mathbb R.\tag{2}$

Мені сказали, що вимога і мати однакове значення насправді не є необхідною. Нехай і робити НЕ мають однакове середнє значення. Чи можемо ми все-таки мати еквівалентність між і ? $F$ $G$ $F$ $G$ $(1)$ $(2)$

NB: Мені вдалося показати без тієї ж середньої умови, але не навпаки. $(2)\Rightarrow (1)$

microeconomics probability

— Гер К.
джерело

Нехай що збільшується і увігнуто. Потім визначається умова SOSD $u(x) = x$

\begin{matrix} (1) & \int x d F (x) \geq \int x d G (x) ⟹ E_{F} (X) \geq E_{G} (X) \end{matrix}

$\int x\mathrm dF(x)\ge \int x\mathrm dG(x) \implies E_F(X) \geq E_G(X) \tag{1}$

.. який би суперечив випадку що було б допустимо за загальним постулатом "різні засоби". З іншого боку, ми бачимо, що умова «те саме середнє» може бути порушена визначальною умовою для самого SOSD. Що це нам говорить? $E_F(X) < E_G(X)$

1) Це є необхідною умовою для до SOSD . $E_F(X) \geq E_G(X)$ $F$ $G$

2) ... І так, що вимога " і мають однакове значення" помилково обмежує застосування концепції SOSD. $F$ $G$

— Алекос Пападопулос
джерело