Чому еластичність визначається як логарифмічні похідні?

У моєму класі економіки ми часто обчислюємо еластичність $ Y $ відносно $ X $, $$ ea = frac {частковий log Y} {частковий log X} Ви можете обчислити це з нахилу рядка, що відповідає ділянці журналу.

Чому природніше вважати цю величину, ніж набагато простіше $$ ea '= frac {частковий Y} {частковий X} $$ який так само легко виміряти? Схоже, існує деяке неявне припущення, що $ eta $ можливо "більш застосовне", можливо, що він менш чутливий до значення $ X $, ніж $ eta $, так що це більш корисно для екстраполяції. Наприклад, я бачив, що крива попиту екстраполюється, припускаючи, що $ eta $ є постійною, що дає право енергії. Але чому б не припустити, що $ eta $ є постійною, що дає лінію? Мені це не здається більш природним.

Чому $ ea $ більше корисна величина, ніж $ eta $ в економіці?

Якщо я розумію ваше питання, то спочатку еластичність не має одиниць. Проблема з $ частковим Y / частковим X $ полягає в тому, що якщо змінити одиниці вимірювання, то результат буде іншим. Менш проблематично висловити його у відсотках: $$ El_X (Y) = frac {Delta Y / Y} {Delta X / X} $$ якщо $ Дельта Y 0 $, коли $ Delta X 0 $, то ви отримаєте $$ El_X (Y) = frac {dY} {dX} frac {X} {Y} $$ якщо $ Y = Y (X, W, ..., Z) $ змінює $ d $ для $ часткового $.

По-друге, як ви знаєте $ d log (x) = frac {dx} {x} $ таким чином $$ El_X (Y) = frac {d Y} {d X} frac {X} {Y} = frac {d log (Y)} {d (X)}. $$

По-перше, еластичність вимірює швидкість реагування на кількість або кількість, що поставляється, коли відбувається зміна ціни.

Ці вимірювання проводяться у формі відсоткової зміни.

З моєї точки зору, основною причиною, за якою ви обчислюєте еластичність за допомогою $ log $, є те, що це робить ваші дані у відсотках. Беручи до уваги, що еластичність - це відношення процентної зміни кількості, що вимагається / подається до процентної зміни ціни, це було б найбільш правдоподібним поясненням.

Ви побачите, що використання $ log $ перетворює дані у відсоткові терміни в курси економетрики.

Оновити: Я не думаю, що це більш "природне" висловлювати речі як відсотки. Але відсотки можуть дати більше інформації. Вони дають відносну інформацію. Наприклад, припустимо, що у вас є 100, а у мене 10 доларів. Третя людина дає кожному з нас 1, тепер у вас є 101, а я - 11. В абсолютному вираженні ми обидва отримали долар, але у відсотках ваші готівки зросли на 1%, а мої кошти зросли на 10%.

Я сподіваюся, що це допоможе!

Одним з надзвичайно функцій в економіці є функціональна форма Кобба-Дугласа (наприклад, $ y = bx_1 ^ a x_2 ^ b $). Це не просто з'явиться у функціях корисності, а й у виробничих функціях або функціях росту (як у моделі Solow Swan).

Взявши форму лог-журналу тут є кілька наслідків. По-перше, він скидає $ a $ і $ b $ з показників до лінійних коефіцієнтів, що дає вам форму $ lny = b + alnx_1 + blnx_2 $. Це важливо, тому що ви можете запустити лінійну регресію на цій функціональній формі, але не оригінальну. Ви можете побачити приклад цього цієї статті .

Вона також має застосування в емпіричній мікроекономіці; ви можете перевірити, чи фірма збільшує, зменшується або постійно повертається до масштабу, якщо ви знайдете $ a + b & gt; або & lt; 1 $. Це може мати важливі наслідки; він може відповісти на деякі питання, наприклад, "чи повинні ми розбивати ці великі компанії?"

По-друге, в деяких випадках математика стає приємнішою. Це може бути корисним у деяких випадках; В оцінці максимальної правдоподібності, що має більш математично дружню функціональну форму, ви можете заощадити годинник підрахунку часу обчислення максимумів.

По-перше, інтерпретація $ ea = frac {часткового log y} {часткового log x} $ і $ eta '= frac {часткового y} {часткового x} $ різні. $ ea $ - відношення процентної зміни і $ eta '$ - відношення абсолютної зміни. Але ви це вже знаєте. Реальне питання полягає не в тому, чому ми визначаємо “еластичність” як відношення процентних змін, а не абсолютні зміни в економіці, тому що саме так ми використовуємо слово “еластичність” у повсякденному житті: припустимо, що гумка довжиною 10 дюймів і може бути розтягнута на 1 дюйм, коли застосовується сила F, і гумова смуга B довжиною 1 дюйм і може бути розтягнута на 0,5 дюйма при застосуванні тієї ж сили F. Можна сказати, що гумова B є більш «еластичною», ніж A, тому що ми не дбаємо про абсолютну зміну, але відносну зміну при визначенні «еластичності».

Тому я вважаю, що ваше запитання «чому еластичність $ ea більше застосовна / корисна, ніж $ ea '$? Обидва $ eta $ і $ eta '$ корисні в різних додатках.

Візьмемо приклад цінової еластичності. За ціною одиниці 1 споживач A купив би 10 яблук, а споживач B - 5 яблук. За ціною одиниці 2 споживач A купив 6 яблук, а споживач B - 1 яблуко. Тобто, коли ціна яблук зросте на 1, обидва споживачі скоротять свою покупку на 4 яблука. Для обох споживачів $ ea '= frac {Delta {{}} {Delta} {price}} = 4 $. Це корисна кількість, якщо ми хочемо знати, що відбувається з продажем яблук, якщо ціна зросла на 1 долар. Але якщо ми хотіли б знати, який споживач би реагував більш різко на зміну цін, $ eta $ не є гарною мірою. Тому що, здається, споживач B є більш «чутливим» до зміни цін: вона скоротила споживання яблук на 80%, порівняно з лише 40% зниженням споживчої А. Так $ $ e є кращим показником цієї «чутливості» або “Еластичність” щодо зміни цін.

У вашому прикладі екстраполяції кривої попиту, припускаючи, що константа еластичності $ ea $, напевно, ближче до істини, ніж припускаючи постійну $ eta '$. Якщо прийняти константа $ eta '$, то крива попиту є прямою. Це фактично означає, що зміна ціни з 1 до 2 призведе до зміни в кількості, що вимагається, оскільки зміна ціни з 100 до 101 долара. Але це не підтверджується ні свідченнями, ні здоровим глуздом. Мозок людини, здається, не працює таким чином. У цьому сенсі відносні зміни, здається, мають відношення до більш економічних додатків, ніж абсолютні зміни.