Поперечність Умова в неокласичній моделі зростання

У неокласичній моделі зростання існує така умова поперечності:

lim_{t \to \infty} β^{t} u^{'} (c_{t}) k_{t + 1} = 0,

$\lim_{t\rightarrow\infty}\beta^{t}u'(c_{t})k_{t+1}= 0,$ де

k_{t + 1}

$k_{t+1}$ - капітал у періоді

t

$t$ .

Мої запитання:

Як ми отримуємо цю умову?
Чому ми цього вимагаємо, якщо ми хочемо виключити шляхи без накопичення боргу?
Чому множники Lagrange $\beta^{t}u'(c_{t}) = \beta^{t}\lambda_{t}$ теперішня дисконтована вартість капіталу?

economic-growth dynamic-optimization

— Нета_1990
джерело

Перевірте ці відповіді на відмінність між станом трансверсального оптимальність і платоспроможністю екзогенного обмеження , economics.stackexchange.com/a/13681/61 і economics.stackexchange.com/a/11866/61

— Алекос Пападопулос

Я спробував дати нематематичний, простомовний опис інтуїції, що стоїть за умовою трансверсальності в цій публікації: medium.com/@alexanderdouglas/… Я, однак, не макроекономіст, тому, можливо, я неправильно зрозумів. Якщо так, я сподіваюся, що деякі відповіді незабаром з’являться.

— Олександр Дуглас

Це має бути коментарем, оскільки ви надаєте лише посилання на зовнішній вміст. Крім того, умова поперечності не залежить від будь-якого припущення щодо формування очікувань, оскільки це умова, накладена навіть у детермінованих моделях, коли невизначеність відсутня. І це стосується не лише державного боргу, а взагалі будь-яких активів. Основний момент полягає в наступному: якщо ми не маємо заповідального мотиву (нас не хвилює наше потомство чи суспільство), неоптимально "залишати позаду" невикористане багатство. Це все, що там є.

— Алекос Пападопулос

ЗМІСТ Це досить прямолінійно з кінцевим горизонтом, і, як це зазвичай буває, коли горизонт стає "нескінченним", він стає трохи менш прямим і зрозумілим.

— Алекос Пападопулос

Відповіді:

Умова поперечності може бути легше зрозуміти, якщо ми почнемо з проблеми з кінцевим горизонтом.

У стандартній версії наша мета - тема до із заданим . Асоційований (з множниками , і ) є FOCs

max_{{c_{t}, k_{t + 1}}_{t = 0}^{T}} \sum_{t = 0}^{T} β^{t} u (c_{t})

$\max_{\{c_t,k_{t+1}\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T\beta^t u(c_t)$

\begin{aligned} f (k_{t}) - c_{t} - k_{t + 1} & \geq 0, t = 0, \dots, T & (resource/budget constraint) \\ c_{t}, k_{t + 1} & \geq 0, t = 0, \dots, T & (non-negativity constraint) \end{aligned}

$\begin{aligned} f(k_t)-c_t-k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(resource/budget constraint)}\\ c_t,k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(non-negativity constraint)} \end{aligned}$

k_{0}

$k_0$

λ_{t}

$\lambda_t$

μ_{t}

$\mu_t$

ω_{t}

$\omega_t$

max_{{c_{t}, k_{t + 1}, λ_{t}, μ_{t}, ω_{t}}_{t = 0}^{T}} \sum_{t = 0}^{T} β^{t} u (c_{t}) + λ_{t} (f (k_{t}) - c_{t} - k_{t + 1}) + μ_{t} c_{t} + ω_{t} k_{t + 1}

$\max_{\{c_t,k_{t+1},\lambda_t,\mu_t,\omega_t\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T \beta^tu(c_t)+\lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})+\mu_tc_t+\omega_tk_{t+1}$

\begin{aligned} c_{t} : & β^{t} u^{'} (c_{t}) - λ_{t} + μ_{t} & = 0, t = 0, \dots, T \\ k_{t + 1} : & - λ_{t} + λ_{t + 1} f^{'} (k_{t + 1}) + ω_{t} & = 0, t = 0, \dots, T - 1 \\ (1) & k_{T + 1} : & - λ_{T} + ω_{T} & = 0, T + 1 \end{aligned}

$\begin{align} c_t:&& \beta^tu'(c_t)-\lambda_t+\mu_t&=0,\quad t=0,\dots,T \\ k_{t+1}:&& -\lambda_t+\lambda_{t+1}f'(k_{t+1})+\omega_t&=0,\quad t=0,\dots,T-1 \\ k_{T+1}:&& -\lambda_T+\omega_T&=0,\quad T+1 \tag{1} \end{align}$ з умовами додаткової в'ялості Kuhn-Tucker: для , Оскільки обмеження ресурсів повинно бути обов'язковим у всі періоди, тобто для всіх , випливає, що в останньому періоді , , .

t = 0, \dots, T

$t=0,\dots,T$

\begin{aligned} λ_{t} (f (k_{t}) - c_{t} - k_{t + 1}) & = 0 & λ_{t} & \geq 0 \\ μ_{t} c_{t} & = 0 & μ_{t} & \geq 0 \\ (2) & ω_{t} k_{t + 1} & = 0 & ω_{t} & \geq 0 \end{aligned}

$\begin{align} \lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})&=0 & \lambda_t&\ge0 \\ \mu_tc_t&=0 & \mu_t&\ge0\\ \omega_tk_{t+1}&=0&\omega_t&\ge0\tag{2} \end{align}$

λ_{t} > 0

$\lambda_t>0$

t

$t$

T

$T$

ω_{T} = λ_{T} > 0

$\omega_T=\lambda_T>0$

k_{T + 1} = 0

$k_{T+1}=0$

Зазвичай ми припускаємо для всіх (умова Інада), і це означає для всіх . Так споживання стає $c_t>0$ $t$ $\mu_t=0$ $t$

\begin{matrix} (3) & β^{t} u^{'} (c_{t}) = λ_{t} \end{matrix}

$\beta^tu'(c_t)=\lambda_t \tag{3}$

Дивлячись на умови і в останньому періоді , отримуємо Розширивши це до нескінченного горизонту, отримаємо умову поперечності $(1)$ $(2)$ $(3)$ $T$

β^{T} u^{'} (c_{T}) k_{T + 1} = 0

$\beta^Tu'(c_T)k_{T+1}=0$

lim_{T \to \infty} β^{T} u^{'} (c_{T}) k_{T + 1} = 0

$\lim_{T\to\infty}\beta^Tu'(c_T)k_{T+1}=0$

Інтуїція умови поперечності частково полягає в тому, що "в останньому періоді немає економії". Але оскільки в середовищі нескінченного горизонту немає "останнього періоду", ми приймаємо межу, коли час іде до нескінченності.

— Гер К.
джерело

На мою думку, найкраще виведення - за логікою. Подумайте про це так: Якщо єдине, про що ми говоримо домочадцям, - це максимально використовувати його корисність, то оптимальною поведінкою було б просто заподіяння нескінченного боргу та споживання безмежно. Це не розумне рішення. Тому нам потрібна ще одна умова оптимальності. Це має відповісти на питання 2.

В умовах кінцевого горизонту реалізація може бути досягнута за рахунок боргу, який повинен бути погашений за останній період. Це неможливо в умовах нескінченного горизонту. Однак "виключення накопичення боргу", як ви пропонуєте, є надто суворою умовою (умова поперечності дозволяє заборгованість!).

Щоб відповісти на питання 3, розглянемо термін . Це означає, що (граничний) корисність (у теперішніх утилітах) переміщення одиниць капіталу на період t та їх споживання. Якби цей прибуток від корисності був позитивним у нескінченності, ми могли б збільшити загальну корисність, споживаючи більше на "періоді нескінченності", отже, наш капітальний шлях не був би оптимальним. $\beta^t \lambda_t k_{t+1}$ $k_{t+1}$

До питання 1: Щоб отримати цю умову, ви можете або зробити логічний аргумент, який я щойно висунув, показавши, що без виконання умови поперечності шлях капіталу не є оптимальним, або, для математичного підтвердження, ви можете перевірити, наприклад, Записки Крюселя (хоча це досить важко зрозуміти)

— Кріс краватка
джерело