Створення математичного сенсу виразу для реалізованої віддачі облігацій

Я натрапив на таке твердження щодо реалізованої дохідності 10-річної облігації за рік:

Реалізована прибутковість облігацій (Н) протягом року має дві складові: дохід від прибутку, отриманий з часом, і приріст капіталу або збиток за рахунок зміни дохідності:
$H_{10} \approx Y_{10} - {Duration}_{10} \times Δ Y_{10} .$ $H_{10} \approx Y_{10}-\text{Duration}_{10} \times \Delta Y_{10}.$

Я повний новичок з економіки і намагаюся зрозуміти, що тут відбувається з математичної точки зору, яку я буду тут представляти, але мої розрахунки, схоже, не підводяться.

Якщо позначити купон облігації з $C$ , а час облігації $t=0$ прирік до погашення з , то значення облігації в момент дорівнює: $y_0$ $t=0$

V_{0} = \frac{C}{1 + y_{0}} + \frac{C}{(1 + y_{0})^{2}} + \dots + \frac{C}{(1 + y_{0})^{9}} + \frac{F + C}{(1 + y_{0})^{10}} .

$V_0=\frac{C}{1+y_0}+\frac{C}{(1+y_0)^2}+\dots+\frac{C}{(1+y_0)^9}+\frac{F+C}{(1+y_0)^{10}}.$

У момент ми можемо виразити значення облігації як функцію часу прибутковість до погашення , тому у нас Похідне від по відношенню до дорівнює: Тепер ми можемо застосувати тут основні обчислення і заявити, що для малого "достатньо", у нас є $t=1$ $t=1$ $y$

V_{1} (y) = \frac{C}{1 + y} + \frac{C}{(1 + y)^{2}} + \dots + \frac{C}{(1 + y)^{8}} + \frac{F + C}{(1 + y)^{9}} .

$V_1(y)=\frac{C}{1+y}+\frac{C}{(1+y)^2}+\dots+\frac{C}{(1+y)^8}+\frac{F+C}{(1+y)^{9}}.$

V_{1}

$V_1$

y

$y$

\frac{d V_{1}}{d y} = - 1 \cdot \frac{C}{(1 + y)^{2}} - 2 \cdot \frac{C}{(1 + y)^{3}} - \dots - 8 \cdot \frac{C}{(1 + y)^{9}} - 9 \cdot \frac{F + C}{(1 + y)^{10}} .

$\frac{dV_1}{dy}=-1\cdot\frac{C}{(1+y)^2}-2\cdot\frac{C}{(1+y)^3}-\dots-8 \cdot \frac{C}{(1+y)^9}-9 \cdot\frac{F+C}{(1+y)^{10}} .$

Δ y

$\Delta y$

V_{1} (y_{0} + Δ y) \approx V_{1} (y_{0}) + \frac{d V_{1}}{d y} (y_{0}) \cdot Δ y .

$V_1(y_0+\Delta y)\approx V_1(y_0)+\frac{d V_1}{dy}(y_0)\cdot \Delta y.$ Отже, якщо ми розглянемо абсолютну віддачу нашої позиції (купуючи цю облігацію в момент часу , продаючи її при ) з точки зору часу , за умови припущення, що час прибутковість облігації до погашення є , маємо, що: Тобто - ми купуємо облігацію за , наприкінці першого року нам виплачують купон, дисконтоване значення якого , і наближення часу значення облігації, враховуючи рахунок YTM зміни є

t = 0

$t=0$

t = 1

$t=1$

t = 0

$t=0$

t = 1

$t=1$

y_{1} = y_{0} + Δ y

$y_1=y_0+\Delta y$

AbsReturn \approx - V_{0} + \frac{C}{1 + y_{0}} + \frac{V_{1} (y_{0}) + \frac{d V_{1}}{d y} (y_{0}) \cdot Δ y}{1 + y_{0}} .

$\text{AbsReturn} \approx-V_0+\frac{C}{1+y_0}+\frac{V_1(y_0)+\frac{d V_1}{dy}(y_0)\cdot \Delta y}{1+y_0}.$

V_{0}

$V_0$

\frac{C}{1 + y_{0}}

$\frac{C}{1+y_0}$

t = 1

$t=1$

V_{1} (y_{0}) + \frac{d V_{1}}{d y} (y_{0}) \cdot Δ y

$V_1(y_0)+\frac{d V_1}{dy}(y_0)\cdot \Delta y$ і ми також знижуємо його на час .

t = 0

$t=0$

Тепер ми можемо спростити вираз для AbsReturn, оскільки і отримаємо: який, мабуть, ми також можемо розділити з нашими початковими інвестиціями щоб отримати норму прибутку, тому ми отримаємо: ось це я повністю втрачаю. Я, здається, не розумію зв'язку між початковим виразом і тим, з чим я закінчуюсь. Що означає термін у початковій формулі, навіть я вважаю, що це значення вартості облігації стосовно доходності, але значення облігації в який час: $-V_0+\frac{C}{1+y_0}+\frac{V_1(y_0)}{1+y_0}=0$

AbsReturn = \frac{\frac{d V_{1}}{d y} (y_{0}) \cdot Δ y}{1 + y_{0}},

$\text{AbsReturn}= \frac{\frac{d V_1}{dy}(y_0)\cdot \Delta y}{1+y_0} ,$

V_{0}

$V_0$

RateOfReturn = \frac{\frac{г V_{1}}{г у} (у_{0}) \cdot Δ у}{V_{0} (1 + у_{0})},

$\text{RateOfReturn}= \frac{\frac{d V_1}{dy}(y_0)\cdot \Delta y}{V_0(1+y_0)} ,$

{Duration}_{10}

$\text{Duration}_{10}$

t = 0

$t=0$ або ? Це навіть має значення? Якщо це час , то як ми можемо використовувати лінійне наближення цієї функції для апроксимації зміни значення облігації в момент ? Я цілком спантеличений цим. Чи я роблю щось зовсім не так у цій деривації? Я вдячний за будь-яку думку з цього приводу. Дякую!

t = 1

$t=1$

t = 0

$t=0$

t = 1

$t=1$

bonds

— Мілан
джерело

Вираз, який ви намагаєтеся зрозуміти, дуже невиразно і погано виражено. Наприклад, "дохід від прибутковості" - це не що інше, як купон, оскільки власник облігації отримує купон і більше нічого в кінці року. І в купоні немає змін, як видається, що символ пропонує.

Δ Y_{10}

$\Delta Y_{10}$

— Алекос Пападопулос

Наведене наближення вимикається у ключовий момент - це тривалість облігації при погашенні 9 років, а не початкова тривалість.

Наближення працює в два етапи.

Якщо врожайність не змінюється протягом одного року, загальна віддача за рік приблизно дорівнює початковій врожайності.
Якщо дохідність змінюється, ми додаємо приріст / збиток від капіталу, який дорівнює зміні врожайності, кратному чутливості прибутковості. Це модифікована тривалість облігації, при погашенні 9 років.

Це наближення ігнорує реінвестування будь-якого купонного доходу та ефект опуклості (чутливість повернення дещо змінюється у міру зміни доходу). Крім того, умова про прибутковість облігацій, ймовірно, відрізняється від конвенції, що використовується для загальної віддачі. Однак, для змін врожаю, що перевищує 50 базових балів, наближення, як правило, досить добре.

— Брайан Романчук
джерело